Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 13-01-2018, 11:24 AM   #1
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Hình học tổng hợp

Topic lập ra sưu tập các bài hình học giải theo phương pháp "tổng hợp". Phần lớn nằm trong chương trình THCS. Các bài toán trong topic cũng có thể dùng để luyện thi lớp 10 chuyên.

Bài toán 1 (Thầy Nguyễn Xuân Hùng từ THTT). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Đường cao $AH.$ $I, J$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiép của các tam giác $ABH, ACH.$ $IJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $M, N.$ $HI, HJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $X, Y.$ $BY, CX$ theo thứ tự cắt $MN$ tại $P, Q.$ Chứng minh rằng $\frac{AI}{AJ}=\frac{HQ}{HP}.$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Figure6634.png (36.2 KB, 92 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (16-01-2018), Minh_Duy (16-01-2018)
Old 13-01-2018, 04:02 PM   #2
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Bài toán 2 (Từ AoPS). Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,$ $AB$ tại $E,$ $F.$ Các tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(K)$ mà khác $BA,$ $CA$ cắt nhau tại $L.$ $(L)$ là đường tròn tâm $L$ đi qua các tiếp điểm của $(K)$ với $LB,$ $LC.$ $AK$ cắt $(L)$ tại $M,$ $N.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(AEM)$ và $(AFN)$ đồng quy với $(K).$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Figure6587.png (56.4 KB, 86 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (16-01-2018), Minh_Duy (16-01-2018)
Old 16-01-2018, 11:21 AM   #3
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 74
Thanks: 39
Thanked 53 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post
Topic lập ra sưu tập các bài hình học giải theo phương pháp "tổng hợp". Phần lớn nằm trong chương trình THCS. Các bài toán trong topic cũng có thể dùng để luyện thi lớp 10 chuyên.

Bài toán 1 (Thầy Nguyễn Xuân Hùng từ THTT). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Đường cao $AH.$ $I, J$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiép của các tam giác $ABH, ACH.$ $IJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $M, N.$ $HI, HJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $X, Y.$ $BY, CX$ theo thứ tự cắt $MN$ tại $P, Q.$ Chứng minh rằng $\frac{AI}{AJ}=\frac{HQ}{HP}.$

Em xin đóng góp 1 lời giải.

Edit: Đoạn $RB=RS$ có thể làm cách khác, hoàn toàn bằng kiến thức lớp 8 như sau:

Sử dụng Menelaus vào tam giác $BSC$ với $H, Q, Y$ thẳng hàng ta có $\frac{HB}{HC}\cdot\frac{YC}{YS}\cdot\frac{QS}{QB} =1.$

Chú ý $YS=BX, AX=AY$ và theo tính chất đường phân giác $\frac{HB}{HC}=\frac{HB}{HA}\cdot\frac{HA}{HC}= \frac{XB}{YC}=\frac{YS}{YC}.$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png AIJHQP.PNG (70.9 KB, 86 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: LichKing, 16-01-2018 lúc 10:06 PM
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post:
buratinogigle (16-01-2018), Minh_Duy (16-01-2018)
Old 16-01-2018, 01:13 PM   #4
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Cám ơn em sau đây là lời giải của mình



Mời các bạn thảo luận tiếp bài toán 2 và đề nghị tiếp các bài toán hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png derakynay847.png (60.1 KB, 86 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (16-01-2018), Minh_Duy (16-01-2018)
Old 16-01-2018, 10:54 PM   #5
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ có phân giác ${AD}.$ Gọi $M$ là trung điểm ${AD}.$ Đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $MC$ và $MB$ tại các điểm $R$ và $Q.$ Chứng minh rằng bốn điểm $B,$ $C,$ $Q$ và $R$ đồng viên.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Figure6643.png (55.5 KB, 72 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (16-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 16-01-2018, 11:57 PM   #6
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 74
Thanks: 39
Thanked 53 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post
Bài toán 2 (Từ AoPS). Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,$ $AB$ tại $E,$ $F.$ Các tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(K)$ mà khác $BA,$ $CA$ cắt nhau tại $L.$ $(L)$ là đường tròn tâm $L$ đi qua các tiếp điểm của $(K)$ với $LB,$ $LC.$ $AK$ cắt $(L)$ tại $M,$ $N.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(AEM)$ và $(AFN)$ đồng quy với $(K).$

Em xin đóng góp 1 lời giải cho bài này.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png AEM-AFN-K.PNG (129.3 KB, 78 lần tải)
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post:
buratinogigle (17-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018), Minh_Duy (17-01-2018)
Old 17-01-2018, 11:39 AM   #7
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Cám ơn em, sau đây là lời giải của mình.


Mình đề nghị bài tiếp

Bài toán 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ cắt nhau tại $H.$ $DE,$ $DF$ lần lượt cắt $HC,$ $HB$ tại $Q,$ $R.$ Tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Chứng minh rằng $HP$ chia đôi $QR.$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png derakynay1700.png (67.2 KB, 77 lần tải)
Kiểu File : png Figure5924c.png (36.4 KB, 79 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (17-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 17-01-2018, 11:33 PM   #8
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 74
Thanks: 39
Thanked 53 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post
Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ có phân giác ${AD}.$ Gọi $M$ là trung điểm ${AD}.$ Đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $MC$ và $MB$ tại các điểm $R$ và $Q.$ Chứng minh rằng bốn điểm $B,$ $C,$ $Q$ và $R$ đồng viên.

Em xin góp 1 lời giải cho bài 3.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png BCQR.PNG (118.4 KB, 79 lần tải)
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post:
buratinogigle (18-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 18-01-2018, 09:13 AM   #9
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Cám ơn em, lời giải của đáp án mình có cũng tương tự. Chúng ta có thể tham khảo thêm một ý tưởng dùng hàng điều hòa như sau


Lời giải bài toán 3. Lấy $P$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ sao cho $BP\parallel AD.$ Khi đó $AP\perp AD.$ Mặt khác vì $M$ là tung điểm $AD$ nên $A(BC,MP)=-1=B(AC,MP)$ ta suy ra $C,$ $M,$ $P$ thẳng hàng. Do đó $$\angle BRC=180^\circ-\angle PRB=180^\circ-\angle PAB=90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$$

Chứng minh tương tự $\angle BQC=90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$ Ta có đpcm.

Mời các bạn thảo luận tiếp bài toán 4.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Figure6644.png (68.0 KB, 63 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (18-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 20-01-2018, 02:39 AM   #10
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 74
Thanks: 39
Thanked 53 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post
Bài toán 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ cắt nhau tại $H.$ $DE,$ $DF$ lần lượt cắt $HC,$ $HB$ tại $Q,$ $R.$ Tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Chứng minh rằng $HP$ chia đôi $QR.$

Em xin góp 1 lời giải cho bài này, lời giải còn tính toán nhiều và chưa được gọn lắm.



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png HP-cd-QR.PNG (89.8 KB, 74 lần tải)
Kiểu File : png bode-hp-qr.PNG (35.5 KB, 62 lần tải)
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to LichKing For This Useful Post:
buratinogigle (20-01-2018)
Old 20-01-2018, 01:05 PM   #11
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Cám ơn em, lời giải bài 4 của mình.


Lấy $P$ đối xứng $H$ qua trung điểm $BC$ thì $AP$ là đường kính của $(O)$ ngoại tiếp $ABC.$ Gọi $PC,$ $PB$ cắt $AB,$ $AC$ tại $N,$ $M$ thì $P$ là trực tâm tam giác $AMN$ do đó $T$ là trung điểm $MN.$ Lấy $K$ đối xứng $C$ qua trung điểm $BN,$ do $CN\parallel BE$ nên $K$ nằm trên $BE.$ Tương tự có $L$ đối xứng với $B$ qua trung điểm $CM$ thì $L$ thuộc $CF.$ Khi đó $MLNK$ là hình bình hành nên $T$ là trung điểm $KL.$ Gọi $S$ đối xứng $O$ qua $BC.$ Ta đã biết $QR\perp AS.$ Ta lại có $OS\cdot OT=2OA^2$ suy ra

$$\frac{OS}{OA}=\frac{2OA}{OT}=\frac{2OC}{OT}=\fra c{BC}{CT}=\frac{ML}{MT}.$$

Từ đó hai tam giác $OAS$ và $MTL$ đồng dạng, suy ra $AS\perp TL$ do đó $QR\parallel KL.$ Từ $T$ là trung điểm $KL$ suy ra $HT$ chia đôi $QR.$

Mình xin đề xuất bài tiếp tục

Bài toán 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $E,$ $F$ là hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $CA,$ $AB.$ $EF$ cắt $BC$ tại $D.$ $P$ bất kỳ nằm trên $EF$ và $Q$ bất kỳ nằm trên đường tròn $(AEF).$ $AQ$ cắt đường tròn $(DPQ)$ tại $R$ khác $Q.$ Đường tròn $(APR)$ cắt lại $(O)$ tại $G.$ Chứng minh rằng $AP$ và $BC$ cắt nhau trên đường tròn $(GRD).$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png Figure6649.png (44.1 KB, 58 lần tải)
Kiểu File : png Figure6637.png (44.1 KB, 63 lần tải)
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to buratinogigle For This Useful Post:
LichKing (20-01-2018)
Old 13-04-2018, 11:46 PM   #12
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 74
Thanks: 39
Thanked 53 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post
Mình xin đề xuất bài tiếp tục

Bài toán 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $E,$ $F$ là hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $CA,$ $AB.$ $EF$ cắt $BC$ tại $D.$ $P$ bất kỳ nằm trên $EF$ và $Q$ bất kỳ nằm trên đường tròn $(AEF).$ $AQ$ cắt đường tròn $(DPQ)$ tại $R$ khác $Q.$ Đường tròn $(APR)$ cắt lại $(O)$ tại $G.$ Chứng minh rằng $AP$ và $BC$ cắt nhau trên đường tròn $(GRD).$
Em thử vẽ hình thì thấy AP và BC không cắt nhau trên (GRD), không biết có nhầm lẫn chỗ nào không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png tqh.png (55.7 KB, 5 lần tải)
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:17 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 101.55 k/117.04 k (13.24%)]