Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Hình Học/Geometry

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 05-10-2011, 02:14 PM   #1
soul
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Icon9 Một số bài tập về đa tạp khả vi

Bài 1: Gỉa sử P2 là mặt phẳng xạ ảnh thực 2-chiều. Hãy chỉ ra hai bản đồ phù hợp của P2.
Bài 2: Gỉa sử Gl(n,R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông, thực cấp n không suy biến.
a) Chứng minh Gl(n,R) là một đa tạp. Gl(n,R) có liên thông không? Tại sao?
b) Hãy chỉ ra một vecto tiếp xúc với Gl(n,R) tại I, I là ma trận đơn vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
soul is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-10-2011, 05:27 PM   #2
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Bài 1 : Dùng định nghĩa của đa tạp

Bài 2 : a. Bạn xét hàm định thức từ $GL \to \mathbb{R} $, đây là hàm liên tục và sử dụng nhận xét là hàm liên tục biến tập liên thông thành liên thông. GL(n, R) là đa tạp với một lý do rất hiển nhiên, bạn có thể suy từ hàm định thức.

b. Bạn áp dụng định nghĩa vector tiếp xúc là ra thôi. Lấy một đường cong khả vi $c\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to GL(n,\mathbb{R}) $ thỏa mãn $c(0) = I $, khi đó vector $\dot{c}(0) $ là vector tiếp xúc tại I của $GL(n,\mathbb{R}) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-10-2011, 07:50 PM   #3
soul
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
B1: Tất nhiên là mình biết là dùng định nghĩa đa tạp rùi, nhưng bạn có thể chỉ cho mình 1 bản đồ trên P2 được không? Vì thực sự mình không rành hình xạ ảnh lắm, trên hình cầu, elip thì xong tuốt tuồn tuột dưng mà sao đến chỗ ni lại bí rì rị thế? Có lẽ là mình không tưởng tượng tốt lắm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
soul is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-10-2011, 11:08 PM   #4
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Ừ, ví dụ hai bản đồ trên $\mathbb{P}^2 $ là $U_0 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_0\neq 0\} $ và $U_1 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_1\neq 0\} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-11-2011, 07:45 PM   #5
damu_trying
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Ừ, ví dụ hai bản đồ trên $\mathbb{P}^2 $ là $U_0 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_0\neq 0\} $ và $U_1 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_1\neq 0\} $
vấn đề là đồng phôi ở đây xác định như thế nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
damu_trying is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-11-2011, 08:01 PM   #6
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Rất đơn giản : $[z_0\colon z_1]\in U_0 \mapsto \frac{z_1}{z_0}\in \mathbb{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-11-2011, 02:35 PM   #7
Mít đặc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 96
Thanks: 10
Thanked 37 Times in 22 Posts
Keke, mình sẽ nuôi thread này, vì đây là chủ đề hay. Tất cả các bài đưa lên đều là những bài tôi chưa có lời giải.

Bài 3: Chứng minh nếu M là n-đa tạp compact thì mọi ánh xạ trơn $f: M \mapsto R^n $ đều có điểm tới hạn.

Bài 4: Cho M, N là 2 đa tạp. Đặt $Pr_1: M\times N \mapsto M $ và $Pr_2: M\times N \mapsto N $ là 2 phép chiếu. Cm $\forall (x,y) \in M\times N $ ta luôn có
$(dPr_1, dPr_2): T_{(x,y)}M\times N \mapsto T_{x}M \times T_{y}M $
là một đẳng cấu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đang học xác suất

thay đổi nội dung bởi: 99, 06-11-2011 lúc 05:25 PM Lý do: đổi lại số bài
Mít đặc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-11-2011, 05:33 PM   #8
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Bài 3 thì chỉ cần xét một hàm tọa độ $f_1 $ của $f $. Do $M $ compact nên $f_1 $ có điểm tới hạn, và điểm đó thỏa mãn tất cả các đạo hàm riêng tại đó của $f_1 $ triệt tiêu. Khi đó ma trận Jacobi của $f $ tại điểm đó là ma trận $n\times n $ có một hàng = 0. Vì vậy điểm tới hạn đó là điểm tới hạn của ánh xạ $f $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-11-2011, 09:32 PM   #9
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Em có bài tập này hay :

Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-11-2011, 05:49 PM   #10
Mít đặc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 96
Thanks: 10
Thanked 37 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Em có bài tập này hay :

Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $.
Để đỡ mất công ta dùng từ trơn thay cho cụm "thuộc lớp $C^r $". Với mỗi ax trơn $f $ từ n-đa tạp $M $vào m-đa tạp $M' $ ta kí hiệu $r(f)_x $ là hạng của $Df(x) $. Khi đó ta có 2 tính chất sau:
1- Nếu $r(f)_x = k = constant $ trong 1 lân cận của $x $ thì tồn tại một bản đồ địa phương $h $ của $x $ và một bản đồ $h' $ của$ y=f(x) $ sao cho:
$h'.f.h^{-1}: (x_1, ..., x_n) \mapsto (x_1, ..., x_k, 0, ..., 0) $
(đây là 1 dạng tương đương của đl hàm ngược)
2- $r(f) $ là hàm nửa liên tục trên theo $x $, tức là với mỗi $x $ tồn tại 1 lân cận $U $ của $x $ sao cho
$r(f)_{x'} \ge r(f)_x \ \forall x' \in U $.
-----------------------------------
Vì cm không hề ngắn và phải gõ rất nhiều công thức nên chỉ nêu ý tưởng: Sử dụng tính chất 2 và giả thiết của đề bài (co rút + liên thông) ta chứng minh được $r(f) $ phải là hằng số trên một lân cận của A, đặt$r(f) = k $. Sau đó áp dụng tính chất 1 ta có điều phải chứng minh bằng cách chỉ ra A là đa tạp con theo đúng định nghĩa của đa tạp con. Nó có chiều bằng k.

PS: Nói chung bài này ko dễ, và lời giải này là mình sưu tầm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đang học xác suất

thay đổi nội dung bởi: Mít đặc, 07-11-2011 lúc 10:45 PM Lý do: t/c 1 phát biểu thiếu
Mít đặc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-11-2011, 10:11 PM   #11
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Vâng ạ, bài ý không dễ, nhưng mà em thấy nó hay nên em gửi thôi. Em cũng không nghĩ ra được lời giải. Ít ra qua bài ý, ta học được vài kỹ thuật và kiến thức cũ (định lý hạng hằng = tổng quát cho cả định lý hàm ẩn và hàm ngược).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:06 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 73.73 k/85.57 k (13.83%)]