Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-12-2011, 10:54 PM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Icon1 Xung quanh bài toán hình học trong kì thi IMO 2011

Chắc hẳn mọi người đã biết đến bài toán số 6 trong kì IMO năm vừa qua. Bài toán hình học duy nhất của cả kì thi, nó được phải biểu như sau

Trích:
Cho tam giác $ABC $ nhọn nội tiếp đường tròn $\mathcal T $, $\ell $ là một tiếp tuyển bất kì của đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ \ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ là 3 đường thẳng tương ứngđối xứng với $\ell $ qua ba cạnh $BC,CA,AB $. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba đường thẳng $\ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ tiếp xúc với $(\mathcal T) $
Thầy dạy hình của mình đã nhận xét rằng :" Kỳ lạ là từ trước đến giờ hình học của tam giác đã được nghiên cứu gần như đến cùng rồi mà lại sót lại một viên ngọc còn hoang sơ chưa ai biết đến để làm đề IMO như vậy, đúng là không gì là không thể trong hình học! " .
Và tất nhiên nó ngay lập tức bị tấn công theo nhiều hướng.Mọi người có thể xem lời giải cũng như bình luận về bài toán tại [Only registered and activated users can see links. ].
Hoặc xem lời giải chính thức trong file đính kèm [Only registered and activated users can see links. ] .


Theo mình thấy thì có lẽ bài này được xây dựng từ một bài hình trong kì thi toán của Iran (sau khi đọc comment của Naoki Sato trên MathLinks). Với nội dung khá gần, mà chính bài Iran này cũng là một bổ đề đề giải bài toán này.
Trích:
Cho tam giác nhọn ABC và một đường thẳng bất kì $\ell $ .Dựng các đường thẳng đối xứng với $\ell $qua các cạnh $BC,CA,AB $. Chúng cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C' $. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C' $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC $.


Với một bài toán hình học như vầy, ngay sau khi,thậm chí trước khi giải chúng đã có những người đưa ra mở rộng của nó.Dưới đây là một số mở rộng của bài toán này.

Mở rộng 1 (T. Trần Quang Hùng)
Trích:
Cho tam giác $ABC $ và một điểm $P $. Một đường thẳng bất kì qua P cắt $(PBC),(PCA),(PAB) $ một lần nữa tại $P_a,P_b,P_c $. Gọi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $là các tiếp tuyến của $(PBC),(PCA),(PAB) $ tương ứng tại $P_a,P_b,P_c $. Chứng minh rằng tam giác tạo bởi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $ tiếp xúc với đường tròn $(ABC) $.
Chú ý khi $P\equiv H $ thì ta được bài IMO.
.

Mở rộng 2 (Nguyễn Văn Linh)
Trích:
Cho tam giác $ABC $ nội tiếp $(O) $. Một đường tròn $(O') $ tiếp xúc với $(O) $. $P $ là điểm bất kì trên $(O) $. $PA,PB,PC $ cắt $(O') $ tại $A_1,B_1,C_1. $ Gọi $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi ba đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua $AB $, $B_1C_1 $ qua $BC $ và $C_1A_1 $ qua $CA $. Chứng minh rằng $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $
Chú ý, Cho $P $ trùng với $I $ và tiếp tục cho $A_1,B_1,C_1 $ trùng với I ta mới được bài toán IMO
Mở rộng 3 (oneplusone MathLinks)
Trích:
Tam giác ABC và XYZ là hai tam giác với chung đường tròn ngoại tiếp. Đường thằng $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $ là ba đường thẳng đối xứng với YZ qua BC,CA,AB. $\mathcal T_x $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $. Tương tự xác định $\mathcal T_y,\mathcal T_z $ .Chứng tỏ rằng $\mathcal T_x, \mathcal T_y,\mathcal T_z $ cùng đi qua một điểm chung.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg imo2011pro6.jpg (47.5 KB, 725 lần tải)
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf 2011_imo_final6.pdf (150.1 KB, 481 lần tải)
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 11 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
asdfghj (05-12-2011), batigoal (04-12-2011), hizact (04-12-2011), hoanghung (05-12-2011), Lan Phuog (04-12-2011), nguyenquocthuy (13-07-2012), nhox12764 (05-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011), soros_fighter (04-12-2011), thephuong (05-12-2011)
Old 04-12-2011, 11:02 PM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Cả ba mở rộng đều được anh Nguyễn Văn Linh viết trong blog của mình kèm theo lời giải của mở rộng 1 và 3. (LTL) [Only registered and activated users can see links. ]. Riêng mở rộng thứ hai được ảnh ý cất kĩ hơn, để dành cho tới kì Mathley Round 3 diễn ra tháng 11 vừa rồi. Mọi người có thể xem đề bài và lời giải trong file đính kèm (Bài 4).

Thực sự phải nói mở rộng hai quá đẹp đẽ, sự đối ngẫu giữa các yếu tố trong hình vẽ từ cách phát biểu đến trong lời giải giải. Trong đáp án kì mathley này có hai cách giải, một cách của tác giả,cách thứ hai được gửi bởi bạn Trần Đăng Phúc,11 Toán KHTN, sử dụng một bổ đề và biến đổi góc thuần túy.Sau đây mình xin giới thiệu một lời giải khác của bài 4,mathley round 3,tháng 11 vừa rồi .

Đề bài
Trích:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn (O') tiếp xúc với (O). P là điểm bất kì trên (O). PA,PB,PC cắt (O') tại $A_1,B_1,C_1 $. Gọi $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi ba đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua AB, $B_1C_1 $ qua BC và $C_1A_1 $ qua CA. Chứng minh rằng $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với (ABC)
Bổ đề
Trích:
Tam giác ABC và tam giác $A_1B_1C_1 $ nằm trên mặt phẳng sao cho $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại điểm P . $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi các đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua AB, $B_1C_1 $ qua BC,$C_1A_1 $ qua CA. Khi đó $AA_2, BB_2, CC_2 $ cũng đồng quy tại một điểm Q, và P nằm trên (ABC) khi và chỉ khi Q cũng nằm trên (ABC).
Chứng minh bổ đề


Quay lại bài toán mở rộng 2.
1. Gọi $A_3,B_3,C_3 $ là giao của $ IA_1,IB_1,IC_1 $ với $(ABC) $. Khi đó $I $ là tâm vị tự biến $(A_1B_1C_1) $ thành $(A_3B_3C_3) $.
Gọi $A_4,B_4,C_4 $ là các điểm trên (O) sao cho A là trung điểm cung $A_3A_4 $,B là trung điểm cung $B_3B_4 $,C là trung điểm cung $C_3C_4. $

2. Gọi X là giao của $BC_{4} $ và $CB_{4} $ .Khi đó $X $ là điểm đối xứng của $X' $ - giao điểm của $BC_{3} $ và $CB_{3} $

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $IB_{4}C_{4}B_3C_3P $ ta có $B_{1},X',C_{1} $ thẳng hàng. Mà $B_{1}C_{1} $ đối xứng nhau qua $BC $ nên $X $ nằm trên $B_{2}C_{2} $ .

Gọi T là giao điểm của $B_{2}B_{4} $ với $(ABC) $ .Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $TB_4C_4BCQ $ ta có $T,C_{2},C_{4} $ thẳng hàng. Do đó $A_{2}A_{4},B_{2}B_{4},C_{2}C_{4} $ đồng quy tại T nằm trên (O)

3.Mặt khác do (O) và(O') tiếp xúc nhau tại I nên $A_1B_1C_1 $ và $A_3B_3C_3 $ là ảnh của nhau qua phép vị tự tâm I, chúng có cách cạnh song song với nhau

Xét góc modulo $180^{o} $ thì $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})=2(B_{1}C_{1},BC)=2(B_{3}C_ {3},BC) $ và $B_{1}C_{1},B_{4}C_{4})=B_{3}C_{3},B_{4}C_{4}) $
Sử dụng B,C là trung điểm cung $B_{3}B_{4} $ và $C_{3}C_{4} $ ta dễ dàng chỉ ra được rằng $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})= B_{1}C_{1},B_{4}C_{4}) $

4. Suy ra hai tam giác $A_{2}B_{2}C_{2},A_{4}B_{4}C_{4} $ có các cạnh tương ứng song song.Từ đó T là tâm vị tự biến tam giác $A_{2}B_{2}C_{2} $ thành tam giác $A_{4}B_{4}C_{4} $.Suy ra phép vị tự tâm T biến $(A_4B_4C_4) $ thành $(A_{2}B_{2}C_{2}) $. Suy ra ngay $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $ tại $T $.Chứng minh kết thúc.

Phép chứng minh rất đẹp trên là động lực để mình gõ bài viết này. Nhìn lại mình vẫn thấy nó quá đẹp. $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại P nằm trên (O), $AA_2,BB_2,CC_2 $ cũng đồng quy tại Q trên (O). $(A_1B_1C_1) $ tiếp xúc với $(A_3B_3C_3) $ tại tâm vị tự biến hai tam giác có các cạnh song song thành nhau. Hai tam giác $A_2B_2C_2 $ và $A_4B_4C_4. $ !!!

Sau đây là một số kết quả thú vị khác xung quanh bài toán Mathley này.Do anh Linh đề xuất, mọi người cùng thử sức nhé
Trích:
KQ 1
Với cấu hình như bổ đề để giải bài toán trên.Chứng minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2 $ cũng đồng quy tại Kiểm $R $ nằm trên chính đường thẳng $PQ $
KQ 2.
Ba đường $d_1, d_2, d_3 $ bất kì trên mặt phẳng cắt nhau tạo tam giác $A_1B_1C_1 $. Đối xứng với d_1 qua BC , CA, AB cắt nhau tạo $A_2B_2C_2 $. Khi đó $AA_2, BB_2, CC_2 $ đồng quy tại X. Tương tự có Y, Z. Khi đó XYZ nội tiếp (O) và XYZ đồng dạng $A_1B_1C_1. $
"Mấy tháng trôi qua nhưng bài toán vẫn còn rất hot,và tất nhiên là nó chưa dừng lại ở đó "

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg lemmapro4mathleyround3.jpg (111.7 KB, 730 lần tải)
Kiểu File : jpg mathleyround3pro4.jpg (98.9 KB, 721 lần tải)
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf 111202_mathley3sols.pdf (257.4 KB, 309 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 04-12-2011 lúc 11:24 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 14 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
asdfghj (05-12-2011), batigoal (04-12-2011), hizact (04-12-2011), hoanghung (05-12-2011), hoangqnvip (19-10-2013), Lan Phuog (04-12-2011), nhox12764 (05-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011), phamtoan (05-12-2011), pvthuan (06-12-2011), soros_fighter (04-12-2011), thephuong (05-12-2011), tuan119 (04-12-2011)
Old 04-12-2011, 11:19 PM   #3
tuan119
+Thành Viên+
 
tuan119's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 993
Thanks: 273
Thanked 665 Times in 422 Posts

Chú Thanh đầu tư nghiên cứu hơi khủng đấy!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________
tuan119 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to tuan119 For This Useful Post:
n.v.thanh (04-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011)
Old 05-12-2011, 03:24 PM   #4
Tranminhngoc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 200
Thanks: 83
Thanked 192 Times in 92 Posts
Thanh bảo để dành làm kỉ niệm học toán nhưng giờ lại post. Điều đó chứng tỏ rằng chưa đến lúc mọi thứ thành kỉ niệm - Thanh đâu rồi đúng không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My Geometry Blog : )
https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/
Tranminhngoc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Tranminhngoc For This Useful Post:
ma 29 (26-01-2013), n.v.thanh (05-12-2011)
Old 05-12-2011, 05:40 PM   #5
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Chú Thanh càng ngày càng trở nên lợi hại hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post:
n.v.thanh (05-12-2011)
Old 05-12-2011, 07:13 PM   #6
Tranminhngoc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 200
Thanks: 83
Thanked 192 Times in 92 Posts
Mình đoán trật lất rồi Thanh nhỉ . Mà có một sự trùng hợp: Đây đều là đề tài nghiên cứu cuối cùng của hai người giỏi hình trên MS trước khi họ đầu tư thi NTU
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My Geometry Blog : )
https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/
Tranminhngoc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Tranminhngoc For This Useful Post:
n.v.thanh (05-12-2011)
Old 05-12-2011, 08:58 PM   #7
thephuong
+Thành Viên Danh Dự+
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Anh Thanh, bữa nào anh thi đại học xong, anh em mình cùng nghiên cứu tiếp vấn đề này, bây giờ em còn sợ anh thi đại học và em còn chuẩn bị thi học kì nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu

thay đổi nội dung bởi: thephuong, 05-12-2011 lúc 08:59 PM Lý do: Tự động gộp bài
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thephuong For This Useful Post:
n.v.thanh (05-12-2011)
Old 20-07-2012, 08:18 PM   #8
q785412369
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 97
Thanks: 144
Thanked 42 Times in 27 Posts
Ai có thời gian thì tiện tay post luôn lời giải các bài mở rộng ở đầu topic cho e tham khảo vs ạ ! Tks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
q785412369 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:48 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 89.58 k/100.14 k (10.54%)]