Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Hình Học/Geometry

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-03-2008, 11:29 PM   #1
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Thắc mắc về hình học vi phân cổ điển

Bác nào học môn này rồi có thể giải thích cho em vài câu hỏi không ạ ?
Hiện tại em đang học HHVP cổ điển theo giáo trình của thầy Quỳnh. Có một số khái niệm mà em vẫn chưa hiểu ý nghĩa của nó ra sao.

1. Ý nghĩa hình học của độ cong Gauss?
2.Ý nghĩa hình học của độ cong trung bình ?

Tạm thời là 2 câu hỏi đã , lúc nào em có thắc mắc, em lại hỏi tiếp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 08:04 PM   #2
lovemintu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 150
Thanks: 11
Thanked 52 Times in 33 Posts
Anh chưa đọc cuốn ấy nên không rõ độ cong Gauss lắm nhưng nếu độ cong định nghĩ thế này thì sẽ có ý nghĩ hh thú vị

Ta xét cung tham số f lớp $C^2 $ và tham số hóa đơn vị là s thì bán kính cong tại điểm M(t) là $R=\frac{ds}{d \phi} $ trong đó $\phi=(Ox,\vec{u}) mod \pi $ với $\vec{u}=\frac{dM(t)}{ds} $
Khi đó độ cong (không rõ gọi là độ cong gì) $\theta=\frac{1}{R} $

Ý nghĩ hh
Đ/n:Tâm cong tại M(t) là điểm O sao cho $\vec{MO}=R\vec{N} $ trong đó $\vec{N} $ nhận được khi quay $\vec{T} $ 90 độ hướng dương! Thực chất nó là các thành phần trông công thức Frenet!
Khi đó đường tròn tâm O bán kính R sẽ tiếp xúc với đường cong tại chính M(t) gọi là đường tròn chính khúc tại M(t).

Ta tưởng tượng độ cong như đại lượng "đo sự uốn cong" thông qua đường tròn!

Anh học qua rồi nên chỉ nhớ không chính xác, sai chú thông cảm nhé, mà 99 à độ này ít gặp chú online nhỉ !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lovemintu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 08:41 PM   #3
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Có nhiều loại độ cong mà anh. Độ cong trong công thức Frenet thì trong sách thầy Quỳnh cũng có giải thích ý nghĩa hình học roài :hornytoro:

Anh biết ánh xạ Weingarten (hay còn gọi là toán tử dạng/shape operator) chứ ? Độ cong Gauss là định thức của ánh xạ đó (nó là ánh xạ tuyến tính)

Có câu hỏi này khó hơn. Bác nào giải thích được cho em thì em cám ơn rất rất nhiều

3. Ý nghĩa hình học của curvature tensor ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 08:53 PM   #4
lovemintu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 150
Thanks: 11
Thanked 52 Times in 33 Posts
Cái này đúng là khó rồi, phải để anh tra lại sách xem sao, nhưng anh nhớ mang máng khi chú nói đến định thức của ánh xạ Weingarten có lẽ khi anh học họ gọi là dạng có bản thứ 2 thì phải ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lovemintu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 08:57 PM   #5
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Hì hì . Anh nhớ nhầm rồi . Từ ánh xạ Weingarten thì định nghĩa được tất cả những cái kia : Độ cong Gauss, độ cong trung bình, dạng cơ bản 2-3 . Dạng cơ bản 1 thì là metric euclid thông thường rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 09:09 PM   #6
lovemintu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 150
Thanks: 11
Thanked 52 Times in 33 Posts
Uh chắc cái ây anh không được học rồi, anh chỉ nhớ là hai cái ma trân của dạng cỏa ban 1, 2 là $F_1,F_2 $ và $F_1-\lambda F_2 $ cho hai gt riêng thì đó gọi là hai độ cong chính $k_1,k_2 $ khi đó
Nếu chúng cùng dương hoặc cùng âm thì điểm đó goi là điểm Eliptic
Nếu tích <0 thì gọi là điểm hyperbolic
Nếu tích bằng không gọi là điểm Parabolic(một trong hai cái khác không)
Nếu cả hai bằng không gọi là điểm phẳng và hình như độ cong Gauss là tích hai cái này !

:hornytoro: thôi có gì mai anh xem lại nhé !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lovemintu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-03-2008, 09:19 PM   #7
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lovemintu View Post
Nếu cả hai bằng không gọi là điểm phẳng và hình như độ cong Gauss là tích hai cái này !
Đúng rồi anh ạ

Độ cong Gauss $K := k_1k_2 $ . $k_1, k_2 $ là các độ cong chính của một mặt định hướng trong $E^3 $ (không gian Euclid 3 chiều)

Độ cong trung bình $H:= \frac{k_1+k_2}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-03-2008, 05:32 AM   #8
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Một câu hỏi vui thôi, tại sao khi
Trích:
Nếu chúng cùng dương hoặc cùng âm thì điểm đó goi là điểm Eliptic
Nếu tích <0 thì gọi là điểm hyperbolic
Nếu tích bằng không gọi là điểm Parabolic(một trong hai cái khác không)
thì tương ứng gọi là elliptic, parabolic,... mà không dùng 1 cái tên khác :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-03-2008, 09:29 AM   #9
lovemintu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 150
Thanks: 11
Thanked 52 Times in 33 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Mr Stoke View Post
Một câu hỏi vui thôi, tại sao khi
thì tương ứng gọi là elliptic, parabolic,... mà không dùng 1 cái tên khác :hornytoro:
Bác lại thử em rồi :hornytoro:, cái này nếu em nhớ không nhầm chính là ý nghĩa hh của độ Gauss, ta có thể cm đc ở lân cận điểm M có độ cong chính $k_1,k_2 $ thì mặt có dạng $z=\frac{1}{2}(k_1x^2+k_2y^2) $ do đó tùy theo dấu $k_1,k_2 $ ta có "loại của mặt" trong lân cận điểm M nên ta đặt tên theo đó cho chính xác !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lovemintu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-03-2008, 04:22 PM   #10
galmotcoh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 18
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Cách tốt nhất để formulate mấy cái curvatures này là dùng tới phân thớ (Bản thân schemes cũng chỉ là 1 sheaf). So let X be a scheme over some base S. Tôi sẽ cho phép cả trường hợp char = p. Let $\mathcal{E} $ be a vector bundle and $\Omega^1_{X/S} $ be the vector bundle of rank n of differential forms.

A connection là 1 map $\nabla: \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^1_{X/S} $ such that $\nabla(f\cdot s) = f \nabla(s) + df \otimes s $.

From a connection on a bundle on X we can obtain a map

$\mathcal{E} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^1_{X/S} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^2_{X/S} $

The second arrow is given by the following general definition:

$\nabla_i: \mathcal{E}\otimes \Omega^i_{X/S} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^{i+1}_{X/S} $, which satisfies

$\nabla_i(\omega \otimes s) = d\omega \otimes \nabla(s) + (-1)^i \omega \wedge df $.

Here, $d: \mathcal{O}_X \rightarrow \Omega^1_{X/S} $ is the canonical derivation.

We will say, a curvature of a connection is the map $K(\nabla) = \nabla_1 \circ \nabla $, which is given as above.
So we may ask what is the geometric meaning of curvatures? Well, if we consider $\nabla $ as a map $Der(X) \rightarrow \underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $, so the curvature of this connection measures the failure of connection to commute with the Lie bracket operations on Derivations and $\underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $.
Next time, i will talk about Gauß-Manin connection.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: galmotcoh, 31-03-2008 lúc 04:28 PM
galmotcoh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-04-2008, 12:01 PM   #11
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi galmotcoh View Post
So we may ask what is the geometric meaning of curvatures? Well, if we consider $\nabla $ as a map $Der(X) \rightarrow \underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $, so the curvature of this connection measures the failure of connection to commute with the Lie bracket operations on Derivations and $\underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $.
Next time, i will talk about Gauß-Manin connection.
Được anh galmotcoh bày cho mấy cái này thì tốt quá. Em có đề nghị nhỏ là anh có thể giải thích bằng ngôn ngữ trực quan hơn một tẹo được không? cái này em chưa được học. Theo em hiểu thì các kiến thức cấp cao như thế này cũng là tổng quát của những cái cơ bản hơn rất nhiều và dễ tưởng tượng hơn nhiều...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-05-2008, 11:00 PM   #12
T.Courtin
Guest
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Bài gởi: 49
Thanks: 1
Thanked 6 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Được anh galmotcoh bày cho mấy cái này thì tốt quá. Em có đề nghị nhỏ là anh có thể giải thích bằng ngôn ngữ trực quan hơn một tẹo được không? cái này em chưa được học. Theo em hiểu thì các kiến thức cấp cao như thế này cũng là tổng quát của những cái cơ bản hơn rất nhiều và dễ tưởng tượng hơn nhiều...
E là khó. Theo như mình được biết thì nếu D là liên thông trên phân thớ vector hermit thì $D\circ D $ chính là tensor độ cong. Vậy tensor độ cong chính là đo sự sai khác để dãy các không gian các dạng vi phân với hệ số trong phân thớ vector hermit trên trở thành một phức vi phân (differential complex) .
Ngoài ra, tensor độ cong với đa tạp 2 chiều, xét trên phân thớ tiếp xúc có các thành phần tọa độ là độ cong Gauss , nên chắc là nó được tổng quát từ độ cong Gauss
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
T.Courtin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-06-2008, 12:30 PM   #13
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi T.Courtin View Post
E là khó. Theo như mình được biết thì nếu D là liên thông trên phân thớ vector hermit thì $D\circ D $ chính là tensor độ cong. Vậy tensor độ cong chính là đo sự sai khác để dãy các không gian các dạng vi phân với hệ số trong phân thớ vector hermit trên trở thành một phức vi phân (differential complex) .
Ngoài ra, tensor độ cong với đa tạp 2 chiều, xét trên phân thớ tiếp xúc có các thành phần tọa độ là độ cong Gauss , nên chắc là nó được tổng quát từ độ cong Gauss
:pflaster: Dạng vi phân với hệ số trong phân thớ là gì vậy ?

Vậy đại khái là curvature tensor là sự tổng quát hóa của độ cong Gauss umb:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-06-2008, 08:38 PM   #14
T.Courtin
Guest
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Bài gởi: 49
Thanks: 1
Thanked 6 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
:pflaster: Dạng vi phân với hệ số trong phân thớ là gì vậy ?
Là các section của phân thớ vector $\Omega^p T^{*}X\otimes E $ trong đó $E\to X $ là phân thớ vector trên đa tạp $X $ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
T.Courtin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-10-2009, 10:54 PM   #15
datsuphu
+Thành Viên+
 
datsuphu's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2009
Bài gởi: 73
Thanks: 14
Thanked 4 Times in 4 Posts
các bạn có cuốn sách hình học vi phân nào mà dễ hiểu thì gửi cho mình với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
datsuphu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:06 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 93.77 k/108.96 k (13.94%)]