Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Các Tạp Chí > Tạp Chí THTT

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-07-2012, 08:09 PM   #1
Trầm
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 657
Thanks: 388
Thanked 470 Times in 196 Posts
Đề Ra Kì Này - Tháng 6/2012

Số 420 - Tháng 6/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/420.}$ (Lớp 6). Tìm các giá trị nguyên của biểu thức $f(x;y)=\dfrac{x^2+x+2}{xy-1}$, trong đó $x, y$ là các số nguyên dương.

$\fbox{Bài T2/420.}$ (Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân tại $A$. Đường trung trực của các cạnh $AB, AC$ theo thứ tự cắt trung tuyến $AM$ tại $E, F$. Gọi giao điểm của $BE$ và $CF$ là $K$. Chứng minh rằng $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}, \widehat{MAB}=\widehat{KAC}$.

$\fbox{Bài T3/420.}$ Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x;y;z)$ thỏa mãn đẳng thức: $2xy+6yz+3zx-|x-2y-z|=x^2+4y^2+9z^2-1$.

$\fbox{Bài T4/420.}$ Với mỗi số nguyên dương $n$ ($n=1,2,\ldots$), đặt $a_n=\dfrac{4n}{n^4+4}$. Chứng minh rằng $a_1+a_2+\cdots+a_n<\dfrac{3}{2}$

$\fbox{Bài T5/420.}$ Cho tam giác nhọn $ABC$, tia phân giác trong của góc $BAC$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E, F$ thứ tự là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB$ và $AC$, $K$ là giao điểm của $CE$ và $BF$, $H$ là giao điểm của $BF$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEK$. Chứng minh rằng $DH$ vuông góc với $BF$.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/420.}$ Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+6\sqrt{xy}-y=6\\x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3\end{cases}$

$\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$

$\fbox{Bài T8/420.}$ Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$. Gọi $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ một điểm $M$ trong tam giác đến ba đỉnh $A, B, C$. Chứng minh rằng $(x+y+z)^2 \ge 4\sqrt{3}S$. Đẳng thức xảy ra khi nào?

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/420.}$ Cho một tập hợp khác rỗng $S \subseteq \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$(i)$ Tồn tại hai phần tử $a,b\in \mathbb{Z}$ mà $(a,b)=(a-2,b-2)=1$.
$(ii)$ Nếu $x, y \in S$ thì $x^2-y \in S$ ($x,y$ không nhất thiết khác nhau).
Chứng minh rằng $S=\mathbb{Z}$.
(Kí hiệu $(a, b)$ chỉ ước chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$)

$\fbox{Bài T10/420.}$ Tìm số $k$ lớn nhất sao cho $\sqrt{a+2b+3c}+\sqrt{b+2c+3a}+\sqrt{c+2a+3b} \ge k\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)$ đúng với mọi số dương $a, b, c$.

$\fbox{Bài T11/420.}$ Cho dãy $\left(x_n\right)$ ($n=1,2,\ldots$) được xác định như sau:
$$\begin{cases}x_1=\dfrac{1001}{1003}\\x_{n+1}=x_n-x_n^2+x_n^3-x_n^4+\cdots+x_n^{2011}-x_n^{2012} \forall n \in \mathbb{N^*}\end{cases}$$
Hãy tìm $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(nx_n\right)$

$\fbox{Bài T12/420.}$ Cho bốn điểm $A, B, C, D$ khác nhau và cùng nằm trên một số dường tròn tâm $O$. Gọi $I, J$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $C$ xuống đường thẳng $AB$ và $AD$; $K, L$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $D$ xuống đường thẳng $BC$ và $BA$; $N$ là trung điểm của $CD$; $M$ là giao điểm của đường thẳng $IJ$ và $KL$. Giả sử đường thẳng $IJ$ và $OD$ cắt nhau tại $E$, $KL$ và $OC$ cắt nhau tại $F$.
Chứng minh năm điểm $M, N, O, E$ và $F$ cùng nằm trên một đường tròn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Trầm, 30-08-2012 lúc 10:51 PM
Trầm is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 16 Users Say Thank You to Trầm For This Useful Post:
99 (29-07-2012), Akira Vinh HD (17-08-2012), antoank21 (25-08-2012), Aries34 (28-07-2012), arsenal1000 (28-07-2012), cuckigianac (11-08-2012), High high (28-07-2012), hungqh (27-07-2012), lexuanthang (27-07-2012), motngaytotlanh (19-08-2012), n.v.thanh (28-07-2012), quykhtn (21-08-2012), thinhptnk (27-07-2012), TNP (06-08-2012), TrauBo (27-07-2012), zớt (29-08-2012)
Old 29-08-2012, 06:25 PM   #2
Trầm
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 657
Thanks: 388
Thanked 470 Times in 196 Posts
Mình mở topic để thảo luận nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trầm is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-08-2012, 06:41 PM   #3
Trầm
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 657
Thanks: 388
Thanked 470 Times in 196 Posts
Trích:
$\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$
Lấy $\ln$ hai vế, ta được bất đẳng thức tương đương:
$$\sum \ln(a^2+1) \ge 3 \ln \dfrac{10}{9}$$
Xét hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ trên $D=[0;1]$.
$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \ge 0 \forall x \in [0;1]$.
Do đó hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ lõm trên $[0;1]$.
$\Rightarrow \ln (a^2+1) \ge f' \left( \dfrac{1}{3}\right)\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +f(1) \Rightarrow \ln(a^2+1) \ge \dfrac{7}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +\ln \left(\dfrac{10}{9}\right)$
Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trầm is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-08-2012, 06:53 PM   #4
TNP
+Thành Viên+
 
TNP's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: PTNK TPHCM
Bài gởi: 180
Thanks: 487
Thanked 106 Times in 67 Posts
Em làm bài T5 phần THCS nhé
Dùng Ceva mình chứng minh được $AK \perp BC$, gọi I là giao của AK và BC, ta có:
-AEDI nội tiếp, suy ra $\widehat{BDE}=\widehat{EAI}(1)$
-AEHK nội tiếp, suy ra $\widehat{BHE}=\widehat{EAK}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra BEHD nội tiếp, suy ra $DH \perp BF$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Believe in yourself $\Leftrightarrow$ Believe in miracles
TNP is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-08-2012, 06:58 PM   #5
ntuan5
+Thành Viên+
 
ntuan5's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 155
Thanks: 130
Thanked 38 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tanggo View Post
Lấy $\ln$ hai vế, ta được bất đẳng thức tương đương:
$$\sum \ln(a^2+1) \ge 3 \ln \dfrac{10}{9}$$
Xét hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ trên $D=[0;1]$.
$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \ge 0 \forall x \in [0;1]$.
Do đó hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ lõm trên $[0;1]$.
$\Rightarrow \ln (a^2+1) \ge f' \left( \dfrac{1}{3}\right)\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +f(1) \Rightarrow \ln(a^2+1) \ge \dfrac{7}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +\ln \left(\dfrac{10}{9}\right)$
Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.
Bài này còn sự giải nào nữa không? .
Mới khảo sát lớp 10 mà cho bài này ớn quá.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ntuan5 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ntuan5 For This Useful Post:
TNP (29-08-2012)
Old 29-08-2012, 07:12 PM   #6
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Mời mọi người tiếp tục thảo luận
Bài hệ phương trình đã có tại
[Only registered and activated users can see links. ]


Bài T10 không biết có sai sót gì không nhưng có vẻ khá đơn giản. Cho $a=b=c$ được $k \le \sqrt{6}$ và dễ dàng chứng minh bằng BCS với $k=\sqrt{6}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-09-2012, 11:55 AM   #7
An_Giang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: An Giang
Bài gởi: 21
Thanks: 0
Thanked 20 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tanggo View Post
$\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$
Bài này có thể chứng minh được bằng Cauchy-Schwarz và AM-GM.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $$6(1+a^2)=\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+(6a ^2+1)\ge 4\sqrt[4]{\left ( \frac{5}{3} \right )^3\cdot(6a^2+1)}.$$ Vì thế, ta được $$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge\left (\frac{2}{3} \right )^3\sqrt[4]{\left ( \frac{5}{3} \right )^9\cdot(6a^2+1)(6b^2+1)(6c^2+1)}.$$ Như vậy, với điều kiện $a+b+c=1$ thì ta thấy, bài toán sẽ được chứng minh nếu như ta chứng minh được $$(6a^2+1)(6b^2+1)(6c^2+1)\ge \frac{5}{27}\left [ 6(a+b+c)-1 \right ]^2. \quad (1.0)$$ Đặt $x=3a,\; y=3b,\; z=3c$ ta được $x+y+z=3$ và $(1.0)$ sẽ tương đương với $$(2x^2+3)(2y^2+3)(2z^2+3)\ge 5[2(x+y+z)-1]^2.$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $${{(2x+2y+2z-1)}^{2}}\le (2{{x}^{2}}+3)\left[ 2+\frac{{{(2y+2z-1)}^{2}}}{3} \right].$$ Bài toán được đưa về chứng minh $$3(2{{y}^{2}}+3)(2{{z}^{2}}+3)\ge 5\left[ 6+{{(2y+2z-1)}^{2}} \right].$$ Do $(2{{y}^{2}}+3)(2{{z}^{2}}+3)=4({{y}^{2}}{{z}^{2}} +1)+6({{y}^{2}}+{{z}^{2}})+5\ge 8yz+6({{y}^{2}}+{{z}^{2}})+5$ và $${{(2y+2z-1)}^{2}}={{(5-2x)}^{2}}=4{{x}^{2}}-20x+25$$ nên ta chỉ cần chứng minh được $$3(6{{y}^{2}}+6{{z}^{2}}+8yz+5)\ge 5(4{{x}^{2}}-20x+31).\quad (1.1)$$ Đánh giá tương tự, ta cũng thấy rằng nếu ta chứng minh được $$3(6{{z}^{2}}+6{{x}^{2}}+8zx+5)\ge 5(4{{y}^{2}}-20y+31).\quad (1.2)$$ hoặc $$3(6{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}+8xy+5)\ge 5(4{{z}^{2}}-20z+31).\quad (1.3)$$ thì bài toán được chứng minh xong. Dưới đây, ta sẽ chỉ ra rằng trong ba bất đẳng thức $(1.1), (1.2)$ và $(1.3)$ sẽ luôn có một bất đẳng thức đúng, và rõ ràng nếu chỉ ra được điều này thì cũng có nghĩa là ta đã giải quyết thành công bài toán.

Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức hợp bởi $(1.1), (1.2), (1.3)$ là một bất đẳng thức đúng là đủ. Nói cách khác, ta chỉ cần chứng minh $$\begin{aligned}3(6{{y}^{2}}+6{{z}^{2}}&+8yz+5)+3 (6{{z}^{2}}+6{{x}^{2}}+8zx+5)+3(6{{x}^{2}}+6{{y}^{ 2}}+8xy+5)\\& \ge 5(4{{x}^{2}}-20x+31)+5(4{{y}^{2}}-20y+31)+5(4{{z}^{2}}-20z+31).\end{aligned}$$ Sau khi thu gọn, ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với $$2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})+3(xy+yz+zx)\ge 15,$$ hay $$2{{(x+y+z)}^{2}}\ge 15+xy+yz+zx.$$ Do $xy+yz+zx\le \frac{1}{3}{{(x+y+z)}^{2}}=3$ nên $$15+xy+yz+zx\le 18=2{{(x+y+z)}^{2}}.$$ Vậy bài toán được chứng minh xong.

Nhận Xét. Từ chứng minh trên ta thấy rằng, bài toán còn đúng cả trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The Simplest Solution Is The Best Solution

thay đổi nội dung bởi: An_Giang, 14-09-2012 lúc 11:59 AM
An_Giang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to An_Giang For This Useful Post:
ntuan5 (14-09-2012)
Old 14-09-2012, 06:34 PM   #8
anhthanh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Bài gởi: 106
Thanks: 55
Thanked 58 Times in 43 Posts
Làm bài lớp 6
Yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow x^2+x+2\vdots xy-1 $

$\Rightarrow x^2+x+2+2(xy-1)\vdots xy-1 $ $\Rightarrow x(x+2y+1)\vdots xy-1 $

Rõ ràng $(x,xy-1)=1 \Rightarrow x+2y+1\vdots xy-1 $

$\Rightarrow xy-1\leq x+2y+1 $ $\Leftrightarrow (x-1)(y-2)\leq 4 $

Do $x,y $ đều là các số nguyên dương nên việc xét để tìm x,y không có gì khó khăn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
anhthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-09-2012, 07:23 PM   #9
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Lời giải của mình cho bài T12 (file đính kèm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf T12 - 420.pdf (50.9 KB, 65 lần tải)
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
Trầm (14-09-2012)
Old 14-09-2012, 08:26 PM   #10
tranghieu95
+Thành Viên+
 
tranghieu95's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Phan Bội Châu- Nghệ An
Bài gởi: 382
Thanks: 187
Thanked 364 Times in 197 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới tranghieu95
Trích:
Nguyên văn bởi tanggo View Post
Số 420 - Tháng 6/2012



$\fbox{Bài T11/420.}$ Cho dãy $\left(x_n\right)$ ($n=1,2,\ldots$) được xác định như sau:
$$\begin{cases}x_1=\dfrac{1001}{1003}\\x_{n+1}=x_n-x_n^2+x_n^3-x_n^4+\cdots+x_n^{2011}-x_n^{2012} \forall n \in \mathbb{N^*}\end{cases}$$
Hãy tìm $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(nx_n\right)$
Ta có: $x_{n+1}(x_n+1)=x_n-x_n^{2012} \Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{x_n-x_n^{2012}}{x_n+1}$
Do $0<x_1<1 \Rightarrow 0<x_n<1 , \forall n \in \mathbb{N}$
CM bằng quy nạp $x_n \le \dfrac{1}{n+1}$
$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=0$
Ta có: $\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1+x_n^{2011}}{1-x_n^{2012}}$
$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_n} \right)=1$
$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{nx_n}=1$
$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty}nx_n=1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39
XIN LỖI ĐÃ THẤT HỨA NHÉ

KỆ

thay đổi nội dung bởi: tranghieu95, 14-09-2012 lúc 08:30 PM
tranghieu95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-09-2012, 09:11 AM   #11
quangbinh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: Cần Thơ
Bài gởi: 9
Thanks: 1
Thanked 6 Times in 5 Posts
Trích:
$\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$
Bất đẳng thức tương đương: $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \dfrac{10}{81}\left(a+b+c+\dfrac{7}{3}\right)^2$.
Ta có: $\left(a+b+c+\dfrac{7}{3}\right)^2 \le (a^2+1)\left[1+\left(b+c+\dfrac{7}{3}\right)^2\right]$ (BCS).
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $$(1+b^2)(1+c^2) \ge \dfrac{10}{81}\left[1+\left(b+c+\dfrac{7}{3}\right)^2\right] \Leftrightarrow b^2c^2+\frac{71}{81}(b^2+c^2)-\frac{20}{81}bc-\frac{140}{243}(b+c)+\frac{149}{729} \ge 0 \text{ (1)}$$
$$VP_{(1)} \ge \dfrac{71}{81}(b^2+c^2)-\dfrac{2}{81}bc-\dfrac{140}{243}(b+c)+\dfrac{140}{729}=\dfrac{1}{8 1}(b-c)^2+\dfrac{70}{81}\left(b-\dfrac{1}{3}\right)^2 +\dfrac{70}{81}\left(c-\dfrac{1}{3}\right)^2 \ge 0\text{ (luôn đúng). }$$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c= \dfrac{1}{3}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quangbinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:45 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 88.79 k/101.56 k (12.58%)]