Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-08-2011, 11:27 AM   #1
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Topic về nguyên hàm và tích phân

Chào các bạn. Mình thấy dạo này trên diễn đàn xuất hiện khá nhiều các bài BĐT, dường như ngày nào vô diễn đàn cũng đều thấy các chủ đề về BĐT. Theo như mình thấy các bài toán nguyên hàm và tích phân lời giải thường khá cơ bản, phù hợp với nhiều trình độ từ THPT tới ĐH. Do vừa mới học xong THPT nên kiến thức mình nắm chưa được nhiều nhưng cũng xin mạn phép mở 1 topic về chủ đề này, mong mọi người ủng hộ

Lưu ý trước mỗi đề bài các bạn phải ghi rõ bài mấy và bôi đen gạch dưới cho mọi người tiện theo dõi. Đặc trưng của các bài này là lời giải thường không quá dài nên hy vọng các bạn cố gắng trình bày cho ra đáp số cuối cùng. Mình xin bắt đầu bằng 1 bài

Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
Anh Khoa (04-08-2011), congvan (30-11-2012), n.v.thanh (05-08-2011), portgas_d_ace (02-03-2013), sang89 (04-08-2011), vthiep94 (05-09-2011)
Old 04-08-2011, 12:16 PM   #2
Kratos
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Toán 0912, PTNK, Tp.HCM
Bài gởi: 87
Thanks: 25
Thanked 160 Times in 73 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Kratos
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $
Đặt $f=\dfrac{x}{\cos x} $ và $dg = \dfrac{x\cos x}{(\cos x+x\sin x)^2}dx $. Khi đó

$df = \dfrac{\cos x+x\sin x}{cos^2x} $,$g = \dfrac{-1}{\cos x+x\sin x} $.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

$\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \int{\dfrac{1}{\cos^2x}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \tan x + C $

Sau khi rút gọn, ta được

$\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x + x\sin x}+C $

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Kratos, 04-08-2011 lúc 12:22 PM
Kratos is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Kratos For This Useful Post:
Conan Edogawa (04-08-2011), n.v.thanh (12-08-2011), phaituankhan19 (26-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011)
Old 04-08-2011, 10:42 PM   #3
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
Bài 2: Không biết nói sao
Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $

$F(x)=2tan(x/2).e^x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@

thay đổi nội dung bởi: leviethai, 04-08-2011 lúc 10:55 PM
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-08-2011, 11:40 PM   #4
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi FunFun View Post
Bài 2: Không biết nói sao
Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $

$F(x)=2tan(x/2).e^x $
Mình không khuyến khích bài post kiểu này,với lại mình thực sự chưa hiểu ý bạn là gi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-08-2011, 02:38 AM   #5
man111
+Thành Viên+
 
man111's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 273
Thanks: 152
Thanked 77 Times in 49 Posts
$\int\frac{x^2}{\left(x\sin x+\cos x\right)^2}dx $

Now $\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. \cos x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sin x\right) $

Now Let $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

and $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

so $\tan \theta =x\Leftrightarrow \theta =\tan^{-1} x $

$\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\cos x\cos \theta+\sin x\sin \theta\right)=\sqrt{x^2+1}.\cos(x-\theta)=\sqrt{x^2+1}.\cos\left(x-\tan^{-1} x\right) $

$\int\frac{x^2}{\left(x^2+1\right).\cos^2\left(x-\tan^{-1} x\right)}dx $

$\int\sec^2 \left(x-\tan^{-1} x\right).\frac{x^2}{1+x^2}dx $

Now $x-\tan^{-1}x=t\Leftrightarrow \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=dt\Leftrightarrow \frac{x^2}{1+x^2}dx=dt $

$\int\sec^2 tdt =\tan \left(t\right)+C $

$=\tan\left(x-\tan^{-1} x\right)+C $

$=\frac{\tan x-\tan(\tan^{-1} x)}{1+\tan x.\tan(\tan^{-1} x)}+C $

$=\frac{\tan x- x}{1+x.\tan x}+C $

$=\frac{\sin x-x.\cos x}{\cos x+x.\sin x}+C $
------------------------------
Bài 3: Tìm nguyên hàm: $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: man111, 05-08-2011 lúc 02:45 AM Lý do: Tự động gộp bài
man111 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to man111 For This Useful Post:
Conan Edogawa (05-08-2011), daylight (28-12-2012), pco (08-01-2012), phaituankhan19 (27-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011)
Old 05-08-2011, 09:46 AM   #6
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kratos View Post
Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $
$I=\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}{{e}^{x}}dx=}\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}d({{e}^{x}})={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}d\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)}} $

$={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}\frac{1+\cos x+\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx=}{{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{1+\cos x}-}\int{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(1+\cos x)}^{2}}}} $

Đặt $K=\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx,L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx}} $

Xét $ L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx} $

Đặt $\left\{ \begin{align}
& u={{e}^{x}} \\
& dv=\frac{\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& du={{e}^{x}}dx \\
& v=\int{\frac{-d(1+\cos x)}{{{(1+\cos x)}^{2}}}=\frac{1}{1+\cos x}} \\
\end{align} \right. $

$\Rightarrow L=\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx=}\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K $

Vậy $I={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-K-\left( \frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K \right)+C={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}+C $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
cool hunter (25-05-2014), daylight (28-12-2012), kingtrandn97 (14-03-2014), nhox12764 (05-09-2011)
Old 05-08-2011, 10:48 AM   #7
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
.Bài mình xuất phát từ đẳng thức cũ thôi .
$( e^x.f(x))'= e^x( f(x)+f'(x)) $
Và ta có :$ \frac{1+\sin x}{1+\cos x}= \frac{1+\sin x}{2\cos( \frac{x}{2})^2}= 2\tan( \frac{x}{2})+\frac{1}{\tan^2( \frac{x}{2})}=2\tan \left( \frac{x}{2} \right) + \left( 2\tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)' $

Vậy nên ta suy ra :$F(x)= 2.\tan\left( \frac{x}{2} \right).e^x+C $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@

thay đổi nội dung bởi: novae, 05-08-2011 lúc 10:53 AM
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to FunFun For This Useful Post:
daylight (28-12-2012), n.v.thanh (05-08-2011)
Old 09-08-2011, 07:31 AM   #8
ha linh
+Thành Viên+
 
ha linh's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hà nội
Bài gởi: 81
Thanks: 155
Thanked 19 Times in 12 Posts
$\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right). e^x = \left( \frac{1+\sin x}{ 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right).e^x
= \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{e^x.\sin\left( \frac{x}{2} \right).\cos\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + e^x .\tan \left( \frac{x}{2} \right) $
Tính tích phân này là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 09-08-2011 lúc 08:39 AM
ha linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to ha linh For This Useful Post:
daylight (28-12-2012), nhox12764 (05-09-2011)
Old 13-08-2011, 10:48 AM   #9
Sqrt_e
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 21
Thanked 5 Times in 3 Posts
Cho mình hỏi 2 câu:

Bài 4. Tính tích phân $\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $.
Bài 5. Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}dx} $.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM Lý do: Đánh số bài.
Sqrt_e is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 12:58 PM   #10
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Bài 5

Bài 4

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
Conan Edogawa (13-08-2011), Sqrt_e (13-08-2011)
Old 13-08-2011, 03:17 PM   #11
Sqrt_e
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 21
Thanked 5 Times in 3 Posts
Anh ơi, Bài 4 có cận là 0 thì thế cận thế nào ạ. Em làm mãi không được nhưng bấm máy tính ra nghiệm đẹp. Hình như là $\[\frac{{3\pi }}{4}\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Sqrt_e is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 03:54 PM   #12
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Cho mình hỏi 2 câu:

Bài 3. Tính tích phân $I=\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $.
Bài 3 Ngoài cách của chúThanh, chúng ta còn có thể làm như sau:
Đặt $ t=\sqrt {2x + 1} $ ta cóa $t^2=(2x+1)dx $ nên $dx=tdt. $
Vật ta có: $I=\int\limits_1^3 {{e^tt}}dt} $.
$I=te^t|^3_1-e^t|^3_1=... $.OK
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 04:58 PM   #13
Sqrt_e
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 21
Thanked 5 Times in 3 Posts
Choem hỏi thêm 2 câu nữa.
Bài 6:Tính tích phân
$\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\tan x + 1)dx} \]
$
Bài 7: Tính tích phân
$\[\int\limits_0^1 {\frac{{x.\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM
Sqrt_e is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 06:25 PM   #14
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Bài 6: Tính tích phân: $I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\tan x + 1)dx} $
Đặt $t=\frac{\pi }{4}-x\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}-t,dx=-dt $

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{4},x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=0 $

$\Rightarrow I=-\int_{\frac{\pi }{4}}^{0}{\ln \left[ \tan \left( \frac{\pi }{4}-t \right)+1 \right]dt=}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{1-\tan t}{1+tant}+1 \right)dt} $

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan t} \right)dt}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan x} \right)dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \ln 2-\ln (1+\tan x) \right]dx} $

$=x.\ln 2\left| _{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln (1+\tan x)dx=\frac{\pi }{4}\ln 2-I} \right. $

$\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{4}\ln 2 $ hay $I=\frac{\pi }{8}\ln 2 $

Bài này thực ra là áp dụng mệnh đề: Cho hàm số $f(x) $ liên tục trên $[a,b] $.

Ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)dx} $

Cách trình bày của mình như trên nhằm tránh việc áp dụng trực tiếp bổ đề
..............................

Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Bài 7: Tính tích phân: $I=\[\int\limits_0^1 {\frac{{x.\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx}
$
$I=\int_{0}^{1}{\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)d\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)} $

$=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left| _{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}d\left( \ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right) \right)} \right. $

$=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left( 1+\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \right)\frac{dx}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}} $

$=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{dx}=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-1 $
------------------------------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Conan Edogawa, 13-08-2011 lúc 07:02 PM
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
Conanvn (10-04-2013), daylight (28-12-2012), kingtrandn97 (14-03-2014), n.v.thanh (13-08-2011), paul17 (17-09-2012), Sqrt_e (13-08-2011)
Old 13-08-2011, 07:13 PM   #15
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Anh ơi, Bài 4 có cận là 0 thì thế cận thế nào ạ. Em làm mãi không được nhưng bấm máy tính ra nghiệm đẹp. Hình như là $\[\frac{{3\pi }}{4}\]
$
Nếu bạn chưa biết có thể thử em này
[Only registered and activated users can see links. ]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:32 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 109.01 k/125.84 k (13.37%)]