Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.

[Snow Bell]

Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Nguyên văn bởi Snow Bell

Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$

Đầu tiên ta có BDT sau:
Nếu $ab \geq 1$ thì $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{1+ab}$
Trở lại bài toán:
Ta đặt $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ , $c=\frac{x}{z}$, suy ra $a,b,c>0$ và $abc=1$, BDT trở thành:
$N=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Do $bc=\frac{x}{y} \geq 1$ nên ta suy ra:
$\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{2}{1+/sqrt{bc}}$
Ta tiếp tục đặt $t=\sqrt{bc}$ , theo điều kiện ban đầu đề ta suy ra $t \in [1;2]$. Từ đó bài toán trở thành việc tìm GTNN của :
$N=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$ với $t \in [1;2].$
Bằng cách xét hàm ta tìm ra $minN=\frac{34}{22}$, xảy ra khi và chỉ khi $t=2=\sqrt{bc}$ và $b=c$ tức $\frac{x}{y}=4$ và $\frac{x}{z}=\frac{z}{y}$. Kết hợp với điều kiện ban đầu bài toán ta suy ra $x=4,y=1$ và $z=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanhphuong28]

Nguyên văn bởi Snow Bell

Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$

Đặt $y=ax, z=bx \Rightarrow a,b \in[ \dfrac{1}{4};1]$
Biểu thức được viết lại $N= \dfrac{1}{2+3a}+ \dfrac{a}{a+b}+ \dfrac{b}{b+1}$.
$ \Rightarrow N'(b)=- \dfrac{a}{(a+b)^2}+ \dfrac{1}{(b+1)^2}$.
$N'(b)=0 \Rightarrow (a+b)^2-a(b+1)^2=0 \Leftrightarrow (1-a)(b^2-a)=0 \Rightarrow b= \sqrt{a}$
vì $b,a \in[ \dfrac{1}{4};1] \Rightarrow$ Min$N(b)=N( \sqrt{a})= \dfrac{1}{2+3a}- \dfrac{2}{1+ \sqrt{a}}+2$.
Đặt $t= \sqrt{a} \Rightarrow t \in[ \dfrac{1}{2};1]$
Xét hàm $N(t)=\dfrac{1}{2+3t^2}- \dfrac{2}{1+t}+2$
Ta có $N'(t)=- \dfrac{6t}{(2+3t^2)^2}+ \dfrac{2}{(1+t)^2}$
$N'(t)=0 \Leftrightarrow 2(2+3t^2)^2-6t(1+t)^2=0 \Leftrightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8=0$. Vì $t \in[ \dfrac{1}{2};1] \Rightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8>0 \Rightarrow N'(t)>0$ với mọi $t \in[ \dfrac{1}{2};1]$.
$ \Rightarrow N(t) \geq N( \dfrac{1}{2})= \dfrac{34}{33}$
Vậy Min$N= \dfrac{34}{33}$ khi $t= \dfrac{1}{2}$ hay $a= \dfrac{1}{4}, b= \dfrac{1}{2}$ hay $y= \dfrac{x}{4}, z= \dfrac{x}{2} \Rightarrow x=4,y=1,z=2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

Nguyên văn bởi Snow Bell

Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$

Đây là Câu V trong đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2011. [Only registered and activated users can see links. ] tập hợp được 6 cách giải cho bài này.

Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Nguyên văn bởi Conan Edogawa

Đây là Câu V trong đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2011. [Only registered and activated users can see links. ] tập hợp được 6 cách giải cho bài này.

Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH.

Mình cũng nghĩ như bạn , nên đưa các câu phù hợp với đề thi Đại Học, và khi giải nên nêu ra hướng giải cũng như lời bình về nó để mọi người đúc kết, có lợi rất nhiều cho người giải bài khi mình giảng mà người ta hiểu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]