Một tính chất về số nguyên tố

[kien10a1]

Cho $p $ nguyên tố, $k $ là số nguyên dương chẵn mà k không chia hết cho $p-1 $.
Chứng minh rằng: Tử số của
$\dfrac{1}{1^k}+\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{3^k}+... \dfrac{1}{(p-1)^k} $
là một số chia hết cho $p $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi kien10a1

Cho $p $ nguyên tố, $k $ là số nguyên dương chẵn mà k không chia hết cho $p-1 $.
Chứng minh rằng: Tử số của
$\dfrac{1}{1^k}+\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{3^k}+... \dfrac{1}{(p-1)^k} $
là một số chia hết cho $p $.

Vì $k$ là số nguyên dương chẵn không chia hết cho $p-1$ nên $p\geqslant 5$. Gọi $g$ là một căn nguyên thủy modulo $p$, khi đó:
$$\frac{1}{1^{k}}+\frac{1}{2^{k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{k}}\equiv g^{k}+g^{2k}+...+g^{(p-1)k}\left (\mod{p} \right )$$ $$\equiv \frac{g^{pk}-g^{k}}{g^{k}-1}\equiv 0\mod{p}$$
Nếu thay $k$ chẵn bằng $k$ lẻ thì tử số chia hết cho $p^{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]