$K$ luôn thuộc một đường thẳng cố định

[DenisO]

Cho đường tròn $(O)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$. $A$ là một điểm thuộc $d$, một cát tuyến $d'$ thay đổi qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và $C$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $d$ tại $M$, tiếp tuyến tại $B$ cắt $d$ tại $N$. Gọi $P$ là trung điểm $MN$. Đường thẳng qua $P$ tiếp xúc $(O)$ (khác $d$) cắt $d'$ tại $K$. CMR $K$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $d'$ thay đổi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Gọi $D$ là tiếp điểm của $d$ với $O$, $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua tâm $O$, $E$ là giao của $BN, CM$ và $G$ là giao của $EF$ với $d$, $H$ là giao của $EG$ với $(O)$.
Do một bổ đề quen thuộc thì $GM = ND$ nên $P$ cũng là trung điểm của $DG$. Trong tam giác vuông $DHG$ có $PH = PD = PG$ nên $PH$ là tiếp tuyến thứ hai từ $P$ tới $(O)$ hay $H$ nằm trên $PK$.
Gọi $L$ là chân đường vuông góc từ $O$ tới $EG$; $OL$ cắt $d'$ tại $K'$. Gọi $Q\equiv EO\cap d'$. Dễ thấy $OF^{2} = OH^{2} = OB^{2} = OQ.OE = OL.OK'$ nên $K'H, K'F$ là các tiếp tuyến tới $O$, dẫn đến $K'\equiv K$ và $K$ luôn nằm trên đường thằng qua $F\parallel d$.

Cách khác để chứng minh $KF$ là tiếp tuyến của $O$: Do $K$ nằm trên $BC$, đối cực của $E$ wrt $(O)$ nên $E$ nằm trên đối cực của $K$, dẫn đến $KF$ là tiếp tuyến thứ hai tới $(O)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]