Tuyển tập bất đẳng thức của diễn đàn MathScope

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 2.1 Theo bất đẳng thức Nesbit thì

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2} $

Nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$(a+b+c)\left [ \sum \frac{a}{(b+c)^2} \right ]\ge \left (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^2\ge \frac{9}{4} $

Ngoài ra có thể chuẩn hóa cho $a+b+c=3 $ và sau đó dùng phương pháp hệ số bất định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 2.5 Theo bất đẳng thức Holder, ta có

$\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\ge(a+b+c)^3=27 $

Vậy để chứng minh bài toán thì ta cần chỉ ra được

$(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\le 27 $

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 3.30 Bài cho hai bài toán cùng chung với nhau thì ắt hẳn chúng phải cho liên quan gì đó đến nha chứ. Sử dụng câu i) ta có thể chứng minh được câu ii) nhờ vào nhận xét "có thể giả sử $(a-1)(b-1)\ge 0 $"

Bài 5.5 Bài toán này có được nhờ vào đánh giá sau đây

$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}=\frac{a^2}{2a^2+[a^2+(b+c)^2]}\le \frac{a^2}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{1}{2}.\frac{a}{a+b+ c} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 5.20 Bất đẳng thức này có thể viết lại dưới dạng

$81abc(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^5 $

hay

$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3 $

có thể chứng minh bằng dồn biến như [Only registered and activated users can see links. ] hoặc dùng AM-GM như sau

Vì $3abc(a+b+c)\le (ab+bc+ca)^2 $ nên ta cần chứng minh

$27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^6 $

Điều này là hiển nhiên theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG

Về Bài 1.7 ta có một lời giải bằng Cauchy-Schwarz khá đơn giản như sau

$\begin{aligned}\left ( \sum \sqrt{a^2+3} \right )^2=\left (\sum \sqrt{a.\frac{a^2+3}{a}} \right )^2&\le (a+b+c)\left ( \frac{a^2+3}{a}+\frac{b^2+3}{b}+\frac{c^2+3}{c} \right )\\&=(a+b+c)\left [ a+b+c+3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \right ) \right ]\\&=4(a+b+c)^2\end{aligned} $

lấy căn hay vế ta sẽ có điều phải chưng minh.

Sai một chút phải là như vầy
$\begin{aligned}\left ( \sum \sqrt{a^2+3} \right )^2=\left (\sum \sqrt{a.\frac{a^2+3}{a}} \right )^2&\le (a+b+c)\left ( \frac{a^2+3}{a}+\frac{b^2+3}{b}+\frac{c^2+3}{c} \right )\\&=(a+b+c)\left [ a+b+c+3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]\\&=4(a+b+c)^2\end{aligned} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Nguyên văn bởi hungchng

Sai một chút phải là như vầy
$\begin{aligned}\left ( \sum \sqrt{a^2+3} \right )^2=\left (\sum \sqrt{a.\frac{a^2+3}{a}} \right )^2&\le (a+b+c)\left ( \frac{a^2+3}{a}+\frac{b^2+3}{b}+\frac{c^2+3}{c} \right )\\&=(a+b+c)\left [ a+b+c+3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]\\&=4(a+b+c)^2\end{aligned} $

Thầy ơi hai lời giải giống nhau đâu khác gì đâu thầy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG

Thầy ơi hai lời giải giống nhau đâu khác gì đâu thầy.

Lộn một chút chỗ $ 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Super Dốt]

Cảm ơn BQT rất nhiều.
Mong chờ các tuyển tập khác của diễn đàn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtoan]

Xin cảm ơn mọi người về cuốn tuyển tập bổ ích. Hi vọng cuốn sau sẽ được cải thiện hơn. Một tài liệu tuyệt vời.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Đúng là lên trường bị cô lập với máy tính lên không biết MS đã xuất xưởng cái này. Để khi nào làm cái Topic BĐT 2 thì mình xí xớn cái nhể
p/s: Chưa học latex @@
Oạch có cả một em Chuyên Bắc Ninh tham gia nữa à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Em là em kết nhất quả bìa đẹp rạng ngời mà chói lòa cả mũi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài 1.1 sai giả thiết thì phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thuonghd]

Nguyên văn bởi batigoal

Sách thì nên để tên thật em à, cho nick bên cạnh tên trường, Tỉnh (TP) không đẹp lắm.
Cụ thể nick của các anh em trong nhóm

1. Đào Thái Hiệp( Kratos )
2. Phạm Tiến Kha( Ptk_1411)
3. Phạm Tuấn Huy ( Pth_Tdn )
4. Phạm Quang Hưng( Ladykillah96 )
5 Tăng Hải Tuân( Liltee. )
6. Nguyễn Văn Khánh ( Nvm )
7 Lê Đức Cảnh.( Crazy Nhoc )
8. Mạc Đức Trí( Asdfghj )
9 Hoàng Minh Quân( Batigoal )
10.Nguyễn Thị Nguyên Khoa(Liverpool29)

Thật tuyệt vời. Cảm on các bạn rất nhiều. Một quyển sách nhiều thú vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[AnhIsGod]

Hình như bài 1.11 làm sai rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quangtruong97]

Trang 6, đoạn biểu diễn bất đẳng thức CS thiếu bình phương anh ơi
Bài 1.1 trang 10 tại sao $ x+y+z=1 $ mà $ 2^{x+y+z}=64 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]