Bài tập giải tích hàm - chương 1 cuốn Functional Analysis của Rudin

99 · 14-08-2010, 08:36 PM

Nhân việc ôn cao học, 99 mời mọi người cùng giải bài tập trong cuốn Functional Analysis của Rudin. Trước mắt là chương 1.

Nếu anh/chị/bạn nào muốn giới thiệu các bài tập trong các cuốn khác thì cũng ổn cả. Miễn là giải thích ký hiệu mới và phù hợp với kiến thức của nhiều người.

http://i794.photobucket.com/albums/y...e/page0020.jpg

99 · 21-08-2010, 02:12 PM

Tuần vừa rồi 99 bị ốm nên đã bỏ bê chủ đề. Mọi người thông cảm nhé.

99 xin phép bắt đầu bằng việc nhắc lại một số khái niệm thông dụng và cả thuật ngữ. Mọi người cố gắng sử dụng tiếng Việt nếu có thể

1. Không gian véc-tơ tô-pô trong Rudin là không gian véc-tơ Hausdorff (khác với giáo trình giải tích hàm của đại học SP HN chẳng hạn)
2. F- không gian = không gian véc-tơ mê-tríc đầy, với mê-tríc bất biến tịnh tiến.
3. Không gian Fréchet là F-không gian lồi địa phương
4. absorbing set = tập hấp thụ (còn gọi là tập hút)
5. Trường nền của các không gian véc-tơ tô-pô được ký hiệu là $\mathbb{F} $ ($\mathbb{F} = \mathbb{C} $ hoặc $\mathbb{R} $) Trong Rudin họ còn ký hiệu là $\Phi. $
6. Các khái niệm tập bị chặn, tập cân, tập hấp thụ, hoàn toàn bị chặn ... coi như đã biết.
7. Tạm thời ta chưa nên dùng ngôn ngữ của cặp đối ngẫu, vì khó

8. Cơ sở lân cận của $O\in X $ gọi là cơ sở địa phương, thường đc ký hiệu là $\mathcal{B} $

Tài liệu dùng để trích dẫn :

[1] Rudin, Real and Complex Analysis.

Các trích dẫn định lý ở ngay trong cuốn Functional Analysis này sẽ không phải nhắc lại tên sách.

(Sẽ bổ sung thêm nếu cần)

99 · 21-08-2010, 02:40 PM

Bài 1, 2 là đại số tuyến tính nên 99 bỏ qua

Bài 3 :

a. Giả sử A là tập con mở của không gian véc-tơ tô-pô X. Giả sử $p = t_1x_1 +\ldots + t_nx_n \in conv(A) $ với $x_i\in A $ , $t_i \geq 0 $ với mọi $i $ thỏa mãn $\sum_{i=1}^n t_i =1. $

Do A mở nên tồn tại lân cận $V_i $ của $0\in X $ sao cho $x_i + V_i\subset A $. Đặt $V = \cap_{i=1}^n V_i $ thì V là lân cận của 0.

Khi đó dễ thấy $p + V\subset conv(A) $. Vì vậy conv(A) là tập mở.

b. Giả sử $E $ là tập bị chặn trong $X $. Lấy $V $ là lân cận lồi bất kỳ của $0\in X $. Do $E $ bị chặn nên tồn tại $s>0 $ sao cho với mọi $t\geq s $, $E \subset tV $.

Do $tV $ lồi nền $conv(E)\subset tV $, vì vậy $conv(E) $ là tập bị chặn.

c. Giả sử $A, B $ là hai tập bị chặn. Giả sử $V $ là lân cận bất kỳ của $0\in X $. Khi đó tồn tại lân cận $U $ của $0 $ sao cho $U+U \subset V $.
Tồn tại $s>0 $ sao cho với mọi $t\geq s $, $A\subset tU, B\subset tU $. Do đó, $A+B\subset tU + tU\subset tV $ . Vậy A+B là tập bị chặn.

d. Giả sử $A, B $ là hai tập com-pắc. Giả sử $\{U_i\} $ là phủ mở của $A+B $. Với mọi $(x,y)\in A\times B $ , tồn tại i sao cho $x+y\in U_i $. Do đó tồn tại lân cận $V_{xy,i} $ và $W_{xy,i} $ của x và y một cách tương ứng sao cho $V_{xy,i}+W_{xy,i}\subset U_i $.
Khi đó $V_{xy,i} $ và $W_{xy,i} $ là các phủ mở tương ứng của A và B. Do A, B com-pắc nên tồn tại các phủ con hữu hạn của chúng.

Từ đó ta suy ra $A+B $ có phủ con hữu hạn.

e. Giả sử $\{z_i\}\subset A+B $ là một lưới hội tụ tới điểm $z\in X $. Giả sử $z_i = x_i + y_i $ với $x_i \in A $ và $y_i \in B $. Do $A $ là tập com-pắc nên có thể trích ra lưới con $x_{i_k} $ hội tụ tới điểm $x\in A $.
Do đó $y_{i_k}= z_{i_k}-x_{i_k}\to z-x $. Do B đóng nên $z-x\in B $. Từ đó suy ra $z\in A+B $, hay $A+B $ là tập đóng.

f. Xem bài 20 cùng chương.

99 · 25-08-2010, 11:07 PM

Bài 4 : Nhận xét điểm $(0,0)\not\in \overset{\circ}{B} $ nên $0.\overset{o}{B}\not\subset \overset{o}{B} $, do đó $\overset{\circ}{B} $ không là tập cân.

PS: không rõ phần trong của một tập thì gõ Latex thế nào nhỉ ?

Bài 5 : Giả sử $E $ là tập bị chặn theo nghĩa của bài tập 5. Giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $ nào đó. Chọn $U $ là lân cận cân của $O\in X $ sao cho $U \subset V. $ Khi đó theo định nghĩa (bị chặn của bài tập 5) tồn tại $s>0 $ sao cho $E\subset sU $. Do $U $ cân nên $sU\subset tU $ với $t>s $. Do đó $E\subset tU\subset tV $.

Vậy $E $ bị chặn theo nghĩa thông thường. Tóm lại, định nghĩa bị chặn không thay đổi.

Bài 6 : Ta chứng minh chiều ngược. Giả sử phản chứng là $E $ không bị chặn. Khi đó tồn tại lân cận $V $ của $O\in X $ sao cho với mọi $n\in\mathbb{N} $ tồn tại $t=t(n) >n $ thỏa mãn $E\not\subset tV $.

Do đó tồn tại $x_n \in E\backslash t(n)V $. Dãy $\{x_n\} $ không bị chặn.

99 · 26-08-2010, 08:45 AM

Bài 7 : Đầu tiên ta giải thích thuật ngữ topo hội tụ điểm.

Giả sử $f\in X $ và $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}\subset X $ là lưới hàm thỏa mãn $f_{\alpha}(x)\to f(x) $ khi $\alpha\in \Lambda $ với mọi $x\in [0,1] $.

Giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $ bất kỳ. Khi đó tồn tại $x_1,\ldots, x_n\in [0,1] $ và $r_1,\ldots,r_n>0 $ sao cho $V\supset V(p_{x_1},r_1)\cap\ldots\cap V(p_{x_n},r_n) $

Ở đây $V(p,r) = \{f\in X : |p(f)|<\frac{1}{r}\} $ , $p $ là nửa chuẩn trong đề bài.

Tồn tại $A\in \Lambda $ sao cho với mọi $\alpha>A $ ta có $|f_{\alpha}(x_i) - f(x_i)| < \frac{1}{r_i} $ với mọi $i = 1,\ldots n $ (điều này có được theo giả thiết ban đầu của lời giải).

Do đó $f_{\alpha}\in V $ với mọi $\alpha > A $. Tức là $f_{\alpha} $ hội tụ tới $f $ theo topo trên.

Theo đề bài tồn tại song ánh $\Phi : [0,1]\to c_0 $ , ở đây $c_0 $ là không gian các dãy số hội tụ tới $0 $.

Xét dãy $\{f_n\}\subset X $ như sau : $f_n(x) = \Phi(x)(n) $ (phần tử thứ $n $ của dãy $\Phi(x) $).

Với mọi $\gamma_n\to\infty $ ta có $\frac{1}{\gamma_n}\to 0 $.

Vậy $\left(\frac{1}{\gamma_n}\right)\in c_0 $. Tồn tại $x\in [0,1] $ sao cho $\Phi(x) = \left(\frac{1}{\gamma_n}\right) $.

Khi đó $\gamma_nf_n(x) = 1 $ với mọi $n $, nên $\gamma_nf_n \not\to 0 $

99 · 26-08-2010, 08:28 PM

Bài 8 :

(a) Giả sử $P $ là họ nửa chuẩn tách trên không gian véc-tơ $X $. $Q $ là họ nhỏ nhất các nửa chuẩn trên $X $ chứa họ $P $ đóng với $\max $ (định nghĩa này đọc ở trong đề bài).

Ta chứng minh họ các tập mở $\{V(p,r) : p\in Q, r>0\} $ , $V(p,r) $ định nghĩa như trong bài 7, lập thành cơ sở địa phương của không gian véc-tơ tô-pô $X $ (xem định lý 1.37 về định nghĩa topo xác định bởi họ nửa chuẩn)

Thật vậy, giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $. Khi đó theo định nghĩa, tồn tại $p_1,\ldots,p_n\in Q $ và $r_1,\ldots,r_n>0 $ sao cho $V\supset V(p_1,r_1)\cap\ldots\cap V(p_n,r_n) $. Đặt $p = \max\{p_1,\ldots,p_n\} \in Q $ và $r = \max\{r_1,\ldots, r_n\} $. Khi đó $V\supset V(p,r) $. Vậy họ $\{V(p,r) : p\in Q, r>0\} $ là cơ sở địa phương.

Cũng như vậy ta có thể chứng minh được tô-pô sinh bởi $Q $ và $P $ là như nhau trên $X $.

(b) Giả sử $X $ là không gian véc-tơ tô-pô sinh bởi họ nửa chuẩn $Q $ trên. Giả sử $\Lambda $ là phiếm hàm tuyến tính trên $X $.

$(\Rightarrow) $ Giả sử $\Lambda $ liên tục, khi đó tập hợp $\{x\in X : |\Lambda x|<1\} $ là lân cận của $O\in X $, nên tồn tại $p\in Q $ và $r>0 $ sao cho $V(p,r)\subset \{x\in X : |\Lambda x|<1\} $.

Từ đó suy ra $|\Lambda x| < 1 $ với mọi $x\in X $ mà $p(x) < 1/r $

Suy ra $|\Lambda x| \leq r.p(x) $ với mọi $x\in X $

$(\Leftarrow) $ Nếu $|\Lambda x| \leq M.p(x) $ với mọi $x\in X $ thì $\Lambda $ bị chặn bởi $1 $ trên lân cận $V(p,M) $ của $O\in X $. Do đó $\Lambda $ liên tục, theo định lý 1.18.

14-08-2010, 08:36 PM	#1
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài tập giải tích hàm - chương 1 cuốn Functional Analysis của Rudin Nhân việc ôn cao học, 99 mời mọi người cùng giải bài tập trong cuốn Functional Analysis của Rudin. Trước mắt là chương 1. Nếu anh/chị/bạn nào muốn giới thiệu các bài tập trong các cuốn khác thì cũng ổn cả. Miễn là giải thích ký hiệu mới và phù hợp với kiến thức của nhiều người. http://i794.photobucket.com/albums/y...e/page0020.jpg

21-08-2010, 02:12 PM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Tuần vừa rồi 99 bị ốm nên đã bỏ bê chủ đề. Mọi người thông cảm nhé. 99 xin phép bắt đầu bằng việc nhắc lại một số khái niệm thông dụng và cả thuật ngữ. Mọi người cố gắng sử dụng tiếng Việt nếu có thể 1. Không gian véc-tơ tô-pô trong Rudin là không gian véc-tơ Hausdorff (khác với giáo trình giải tích hàm của đại học SP HN chẳng hạn) 2. F- không gian = không gian véc-tơ mê-tríc đầy, với mê-tríc bất biến tịnh tiến. 3. Không gian Fréchet là F-không gian lồi địa phương 4. absorbing set = tập hấp thụ (còn gọi là tập hút) 5. Trường nền của các không gian véc-tơ tô-pô được ký hiệu là $\mathbb{F} $ ($\mathbb{F} = \mathbb{C} $ hoặc $\mathbb{R} $) Trong Rudin họ còn ký hiệu là $\Phi. $ 6. Các khái niệm tập bị chặn, tập cân, tập hấp thụ, hoàn toàn bị chặn ... coi như đã biết. 7. Tạm thời ta chưa nên dùng ngôn ngữ của cặp đối ngẫu, vì khó 8. Cơ sở lân cận của $O\in X $ gọi là cơ sở địa phương, thường đc ký hiệu là $\mathcal{B} $ Tài liệu dùng để trích dẫn : [1] Rudin, Real and Complex Analysis. Các trích dẫn định lý ở ngay trong cuốn Functional Analysis này sẽ không phải nhắc lại tên sách. (Sẽ bổ sung thêm nếu cần)

21-08-2010, 02:40 PM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài 1, 2 là đại số tuyến tính nên 99 bỏ qua Bài 3 : a. Giả sử A là tập con mở của không gian véc-tơ tô-pô X. Giả sử $p = t_1x_1 +\ldots + t_nx_n \in conv(A) $ với $x_i\in A $ , $t_i \geq 0 $ với mọi $i $ thỏa mãn $\sum_{i=1}^n t_i =1. $ Do A mở nên tồn tại lân cận $V_i $ của $0\in X $ sao cho $x_i + V_i\subset A $. Đặt $V = \cap_{i=1}^n V_i $ thì V là lân cận của 0. Khi đó dễ thấy $p + V\subset conv(A) $. Vì vậy conv(A) là tập mở. b. Giả sử $E $ là tập bị chặn trong $X $. Lấy $V $ là lân cận lồi bất kỳ của $0\in X $. Do $E $ bị chặn nên tồn tại $s>0 $ sao cho với mọi $t\geq s $, $E \subset tV $. Do $tV $ lồi nền $conv(E)\subset tV $, vì vậy $conv(E) $ là tập bị chặn. c. Giả sử $A, B $ là hai tập bị chặn. Giả sử $V $ là lân cận bất kỳ của $0\in X $. Khi đó tồn tại lân cận $U $ của $0 $ sao cho $U+U \subset V $. Tồn tại $s>0 $ sao cho với mọi $t\geq s $, $A\subset tU, B\subset tU $. Do đó, $A+B\subset tU + tU\subset tV $ . Vậy A+B là tập bị chặn. d. Giả sử $A, B $ là hai tập com-pắc. Giả sử $\{U_i\} $ là phủ mở của $A+B $. Với mọi $(x,y)\in A\times B $ , tồn tại i sao cho $x+y\in U_i $. Do đó tồn tại lân cận $V_{xy,i} $ và $W_{xy,i} $ của x và y một cách tương ứng sao cho $V_{xy,i}+W_{xy,i}\subset U_i $. Khi đó $V_{xy,i} $ và $W_{xy,i} $ là các phủ mở tương ứng của A và B. Do A, B com-pắc nên tồn tại các phủ con hữu hạn của chúng. Từ đó ta suy ra $A+B $ có phủ con hữu hạn. e. Giả sử $\{z_i\}\subset A+B $ là một lưới hội tụ tới điểm $z\in X $. Giả sử $z_i = x_i + y_i $ với $x_i \in A $ và $y_i \in B $. Do $A $ là tập com-pắc nên có thể trích ra lưới con $x_{i_k} $ hội tụ tới điểm $x\in A $. Do đó $y_{i_k}= z_{i_k}-x_{i_k}\to z-x $. Do B đóng nên $z-x\in B $. Từ đó suy ra $z\in A+B $, hay $A+B $ là tập đóng. f. Xem bài 20 cùng chương.

25-08-2010, 11:07 PM	#4
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài 4 : Nhận xét điểm $(0,0)\not\in \overset{\circ}{B} $ nên $0.\overset{o}{B}\not\subset \overset{o}{B} $, do đó $\overset{\circ}{B} $ không là tập cân. PS: không rõ phần trong của một tập thì gõ Latex thế nào nhỉ ? Bài 5 : Giả sử $E $ là tập bị chặn theo nghĩa của bài tập 5. Giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $ nào đó. Chọn $U $ là lân cận cân của $O\in X $ sao cho $U \subset V. $ Khi đó theo định nghĩa (bị chặn của bài tập 5) tồn tại $s>0 $ sao cho $E\subset sU $. Do $U $ cân nên $sU\subset tU $ với $t>s $. Do đó $E\subset tU\subset tV $. Vậy $E $ bị chặn theo nghĩa thông thường. Tóm lại, định nghĩa bị chặn không thay đổi. Bài 6 : Ta chứng minh chiều ngược. Giả sử phản chứng là $E $ không bị chặn. Khi đó tồn tại lân cận $V $ của $O\in X $ sao cho với mọi $n\in\mathbb{N} $ tồn tại $t=t(n) >n $ thỏa mãn $E\not\subset tV $. Do đó tồn tại $x_n \in E\backslash t(n)V $. Dãy $\{x_n\} $ không bị chặn.

26-08-2010, 08:45 AM	#5
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài 7 : Đầu tiên ta giải thích thuật ngữ topo hội tụ điểm. Giả sử $f\in X $ và $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in \Lambda}\subset X $ là lưới hàm thỏa mãn $f_{\alpha}(x)\to f(x) $ khi $\alpha\in \Lambda $ với mọi $x\in [0,1] $. Giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $ bất kỳ. Khi đó tồn tại $x_1,\ldots, x_n\in [0,1] $ và $r_1,\ldots,r_n>0 $ sao cho $V\supset V(p_{x_1},r_1)\cap\ldots\cap V(p_{x_n},r_n) $ Ở đây $V(p,r) = \{f\in X : \|p(f)\|<\frac{1}{r}\} $ , $p $ là nửa chuẩn trong đề bài. Tồn tại $A\in \Lambda $ sao cho với mọi $\alpha>A $ ta có $\|f_{\alpha}(x_i) - f(x_i)\| < \frac{1}{r_i} $ với mọi $i = 1,\ldots n $ (điều này có được theo giả thiết ban đầu của lời giải). Do đó $f_{\alpha}\in V $ với mọi $\alpha > A $. Tức là $f_{\alpha} $ hội tụ tới $f $ theo topo trên. Theo đề bài tồn tại song ánh $\Phi : [0,1]\to c_0 $ , ở đây $c_0 $ là không gian các dãy số hội tụ tới $0 $. Xét dãy $\{f_n\}\subset X $ như sau : $f_n(x) = \Phi(x)(n) $ (phần tử thứ $n $ của dãy $\Phi(x) $). Với mọi $\gamma_n\to\infty $ ta có $\frac{1}{\gamma_n}\to 0 $. Vậy $\left(\frac{1}{\gamma_n}\right)\in c_0 $. Tồn tại $x\in [0,1] $ sao cho $\Phi(x) = \left(\frac{1}{\gamma_n}\right) $. Khi đó $\gamma_nf_n(x) = 1 $ với mọi $n $, nên $\gamma_nf_n \not\to 0 $

26-08-2010, 08:28 PM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài 8 : (a) Giả sử $P $ là họ nửa chuẩn tách trên không gian véc-tơ $X $. $Q $ là họ nhỏ nhất các nửa chuẩn trên $X $ chứa họ $P $ đóng với $\max $ (định nghĩa này đọc ở trong đề bài). Ta chứng minh họ các tập mở $\{V(p,r) : p\in Q, r>0\} $ , $V(p,r) $ định nghĩa như trong bài 7, lập thành cơ sở địa phương của không gian véc-tơ tô-pô $X $ (xem định lý 1.37 về định nghĩa topo xác định bởi họ nửa chuẩn) Thật vậy, giả sử $V $ là lân cận của $O\in X $. Khi đó theo định nghĩa, tồn tại $p_1,\ldots,p_n\in Q $ và $r_1,\ldots,r_n>0 $ sao cho $V\supset V(p_1,r_1)\cap\ldots\cap V(p_n,r_n) $. Đặt $p = \max\{p_1,\ldots,p_n\} \in Q $ và $r = \max\{r_1,\ldots, r_n\} $. Khi đó $V\supset V(p,r) $. Vậy họ $\{V(p,r) : p\in Q, r>0\} $ là cơ sở địa phương. Cũng như vậy ta có thể chứng minh được tô-pô sinh bởi $Q $ và $P $ là như nhau trên $X $. (b) Giả sử $X $ là không gian véc-tơ tô-pô sinh bởi họ nửa chuẩn $Q $ trên. Giả sử $\Lambda $ là phiếm hàm tuyến tính trên $X $. $(\Rightarrow) $ Giả sử $\Lambda $ liên tục, khi đó tập hợp $\{x\in X : \|\Lambda x\|<1\} $ là lân cận của $O\in X $, nên tồn tại $p\in Q $ và $r>0 $ sao cho $V(p,r)\subset \{x\in X : \|\Lambda x\|<1\} $. Từ đó suy ra $\|\Lambda x\| < 1 $ với mọi $x\in X $ mà $p(x) < 1/r $ Suy ra $\|\Lambda x\| \leq r.p(x) $ với mọi $x\in X $ $(\Leftarrow) $ Nếu $\|\Lambda x\| \leq M.p(x) $ với mọi $x\in X $ thì $\Lambda $ bị chặn bởi $1 $ trên lân cận $V(p,M) $ của $O\in X $. Do đó $\Lambda $ liên tục, theo định lý 1.18.