Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Những Vấn Đề Chung > LaTeX

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-02-2014, 12:54 PM   #91
lupanh7
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 10
Thanks: 7
Thanked 6 Times in 3 Posts
$\bigcap $
.................................................. ...
$A=A_1\cap A_2\cap A_3\cap ... \cap A_{2012} \{ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: lupanh7, 25-02-2014 lúc 01:10 PM
lupanh7 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-03-2014, 11:00 PM   #92
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Đáp số bài của em là $n!$


Anh xài điều sau:
NẾu $n$ có k ước nguyên tố $p_1,p_2,..,p_k$
$a_{l n}+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}=n$ nếu $l=n$ và bằng $0$ nếu $l<n$



Dưới đây là chứng minh bằng tập hợp, có lẽ xài quy nạp với 1 chút số học là ra nhưng mà anh lỡ làm bằng tập hợp rồi.
KHó hiểu lắm, em thử chứng minh cái đẳng thức trên bằng cách khác hén

Đặt $X_a( A)$ (với A là 1 tập hợp ) là hàm thỏa điều sau :$X_a(A)=| \{a\} \cap A | $

Đặt $S_n=\{ m: m|n,m>0\}$ tức là $S_n$ là tập hợp các ước của $S_n$.
Giả sử $n$ có $k$ ước nguyên tố là $p_1,p_2,...,p_k$.

Ta có điều sau đây:
i) $S_i \cap S_j= S_{(i,j)}$
ii) Nếu $I \subset \{ 1,2,...,k\}$ thì $ \bigcap_{ i \in I} S_{n/p_i}= S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}$
iii) Với $ A \subset B$ thì \sum_{a \in A} a= \sum_{a \in B} a.X_a(A)$
Quay lại bài toán , ta có chứng minh cái này trước:
I:) $ \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i}=$$\{ m : m|n , 0<m<n\}$$= S_n$\$ \{n\}$

II:)
Theo nguyên ly Inclusion-Exclusion thì :

$ X_a( \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i})=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a( \bigcap_{ i \in I} S_{n/p_i} ) $
$=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a(S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}) $ (theo ii )

rộng hơn là $X_a( \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } (C\cap S_{n/p_i}))=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})$

Trở lại bài toán.

Từ i) ta thấy điều sau: $ a_{ij} = \sum_{ x \in S_i \cap S_j } x=\sum_{x \in \overline {1,n}} x.X_x( S_i \cap S_j )$(*)

Từ I,II ,iii ta mở rộng được thành điều sau:

$ \sum_{x \in C\cap S_n} x=\sum_{ x \in \overline{1,n}} x.X_x( C\cap S_n)=n.X_n(C \cap S_n)+\sum_{ x \in \overline{1,n-1}} x.X_x( C\cap \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i} )$ (do I )
$=n.X_n(C \cap S_n)+ \sum_{ x \in \overline{1,n-1}} [x.\{\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_x(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})\} ]$ (do II)
$=n.X_n(C \cap S_n)+\{\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1} [ \sum_{ x \in \overline{1,n-1}} x.X_x(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})\} ] \} $

Lấy $C=S_l$ bất kì.
Ta rút gọn cái đẳng thức trên lại bằng cách sử dụng (*) thì được
$ a_{ l n}=n.X_n(S_l \cap S_n)+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}$
hay nói cách khác
$a_{l n}+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}=n$ nếu $l=n$ và bằng $0$ nếu $l<n$
------------------------------
Đáp số bài của em là $n!$


Anh xài điều sau:
$a_{l n}+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}=n$ nếu $l=n$ và bằng $0$ nếu $l<n$



Dưới đây là chứng minh bằng tập hợp, có lẽ xài quy nạp với 1 chút số học là ra nhưng mà anh lỡ làm bằng tập hợp rồi.
KHó hiểu lắm, em thử chứng minh cái đẳng thức trên bằng cách khác hén

Đặt $X_a( A)$ (với A là 1 tập hợp ) là hàm thỏa điều sau :$X_a(A)=| \{a\} \cap A | $

Đặt $S_n=\{ m: m|n,m>0\}$ tức là $S_n$ là tập hợp các ước của $S_n$.
Giả sử $n$ có $k$ ước nguyên tố là $p_1,p_2,...,p_k$.

Ta có điều sau đây:
i) $S_i \cap S_j= S_{(i,j)}$
ii) Nếu $I \subset \{ 1,2,...,k\}$ thì $ \bigcap_{ i \in I} S_{n/p_i}= S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}$
iii) Với $ A \subset B$ thì \sum_{a \in A} a= \sum_{a \in B} a.X_a(A)$
Quay lại bài toán , ta có chứng minh cái này trước:
I:) $ \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i}=$$\{ m : m|n , 0<m<n\}$$= S_n$\$ \{n\}$

II:)
Theo nguyên ly Inclusion-Exclusion thì :

$ X_a( \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i})=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a( \bigcap_{ i \in I} S_{n/p_i} ) $
$=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a(S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}) $ (theo ii )

rộng hơn là $X_a( \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } (C\cap S_{n/p_i}))=\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_a(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})$

Trở lại bài toán.

Từ i) ta thấy điều sau: $ a_{ij} = \sum_{ x \in S_i \cap S_j } x=\sum_{x \in \overline {1,n}} x.X_x( S_i \cap S_j )$(*)

Từ I,II ,iii ta mở rộng được thành điều sau:

$ \sum_{x \in C\cap S_n} x=\sum_{ x \in \overline{1,n}} x.X_x( C\cap S_n)=n.X_n(C \cap S_n)+\sum_{ x \in \overline{1,n-1}} x.X_x( C\cap \bigcup_{ i \in \{ 1,2,...,k\} } S_{n/p_i} )$ (do I )
$=n.X_n(C \cap S_n)+ \sum_{ x \in \overline{1,n-1}} [x.\{\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.X_x(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})\} ]$ (do II)
$=n.X_n(C \cap S_n)+\{\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1} [ \sum_{ x \in \overline{1,n-1}} x.X_x(C\cap S_{ \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}})\} ] \} $

Lấy $C=S_l$ bất kì.
Ta rút gọn cái đẳng thức trên lại bằng cách sử dụng (*) thì được
$ a_{ l n}=n.X_n(S_l \cap S_n)+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|-1}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}$
hay nói cách khác
$a_{l n}+\sum_{ I \subset \{ 1,2,...,k\} } (-1)^{ |I|}.a_{l \frac{n}{\prod_{ i \in I} p_i}}=n$ nếu $l=n$ và bằng $0$ nếu $l<n$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 01-03-2014 lúc 11:01 PM Lý do: Tự động gộp bài
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-03-2014, 05:51 PM   #93
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hungth View Post
Các bạn cho mình hỏi mình muốn đánh chữ 'Hölder' trong latex thì phải làm thế nào
Đây nhé $\ddot{o}$ (\ddot{o})

Bạn có thể tham khảo thêm tại [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-03-2014, 05:09 PM   #94
khi gia
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gởi: 28
Thanks: 53
Thanked 18 Times in 13 Posts
$\frac{a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khi gia, 07-03-2014 lúc 05:13 PM
khi gia is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-10-2014, 05:50 PM   #95
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
đã test xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 12-10-2014 lúc 05:52 PM
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 21-10-2014, 09:15 PM   #96
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts

1/ Ta có $$\dfrac{-n}{n^2+1} \le \dfrac{n\sin n}{n^2+1} \le \dfrac{n}{n^2+1} forall n $$
Mà $$\lim_{n \to +\infty}{\dfrac{-n}{n^2+1} }=\lim_{n \to +\infty}{\dfrac{n}{n^2+1}}= 0$$
Theo nguyên lý kẹp : $\lim {u_n}=0$

2/ Ta có giới hạn cơ bản: $$\lim_{x \to 0} {(1+x)^\dfrac{1}{x}}=e $$
Trở lại bài toán: $$\lim_{x \to 0}{ \left( 1+(cosx-1) \right)^{\dfrac{1}{cos x -1}. \dfrac{cos x -1}{x^2}}}=\lim_{x \to 0}{ \left( 1+(cosx-1) \right)^{\dfrac{1}{cos x -1}. \dfrac{-2sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}}}$$
Ta có giới hạn cơ bản: $$\lim_{x \to 0}{\dfrac{sin x}{x}}=1$$
Nên $$\lim_{x \to 0}{\dfrac{-2sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{-1}{2} \left(\dfrac{ \sin{\dfrac{x}{2}}}{\dfrac{x}{2}} \right) ^2} =\dfrac{-1}{2} $$
Vậy $$ \lim u_n =e ^\dfrac{-1}{2} =\dfrac{1}{\sqrt{e}}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-12-2014, 01:36 PM   #97
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts
$\dfrac{\partial^{m+n}f}{\partial x^m \partial y^n}= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} ...\left( \dfrac{\partial}{ \partial y} \left( \dfrac{\partial}{ \partial y} ...\left( \dfrac{ \partial f}{ \partial y} \right) \right) \right)... \right)$ Tức là tính đạo hàm cấp $n$ của $f$ theo $y$ rồi tính đạo hàm cấp $m$ của hàm vừa tìm được theo $x$ $$f(x,y)=(x^2+y^2) e^{x+y}$$ $$f^{'}_y=(x^2+y^2+2y) e^{x+y}$$ $$f^{''}_y = (x^2+y^2+4y +2) e^{x+y} =(x^2+y^2+2.2y +2.1) e^{x+y}$$ $$f^{(3)}_y = (x^2+y^2+6y +6) e^{x+y}=(x^2+y^2+2.3y +2.(1+2)) e^{x+y}$$ ........... Quy nạp ta được: $$f^{(n)}_y=(x^2+y^2+2ny+2(1+2+..+n-1)).e^{x+y}=(x^2+y^2+2ny+n(n-1) ).e^{x+y}$$ Đặt $g(x,y)=f^{(n)}_y$ . Tính đạo hàm cấp $m$ của $g$ theo $x$ $$g^{'}_x=(x^2+2x+y^2+2ny+n(n-1) ) e^{x+y}$$ $$g^{''}_x=(x^2+4x+2+y^2+2ny+n(n-1) ) e^{x+y}$$ Tương tự như trên, quy nạp được $$g^{(m)}_x=(x^2+2mx+m(m-1)+y^2+2ny+n(n-1)) e^{x+y}$$ Vậy $$\dfrac{\partial^{m+n}f}{\partial x^m \partial y^n}=(x^2+y^2+2mx+2ny+m(m-1)+n(n-1) ) e^{x+y}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-03-2015, 07:57 PM   #98
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts
$tui gởi đỡ ở đây nhe, ông kiểm tra giúp $
$\mathbf{Khái niệm:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, $X$ được gọi là được phủ hoàn toàn nếu với mọi $\epsilon >0$ tồn tại một họ hữu hạn $\{ x_1, x_2,...,x_n \} $ các phần tử của $X$ sao cho:$$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(x_i,\epsilon)$$

$\mathbf{Bài toán:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, chứng minh hai điều sau đây tương đương:
i) $X$ compact
ii) $X$ là không gian Banach và $X$ được phủ hoàn toàn.

$\mathbf{Chứng minh:}$
$i) \Rightarrow ii)$:

$\triangleright$ Chứng minh $X$ là không gian Banach

Lấy $\{ x_n \}$ là một dãy Cauchy trong $X$. Vì $X$ compact nên tồn tại một dãy con $\{ x_{n_k} \}$ hội tụ về $x$.
Cho $\epsilon >0$, ta chứng minh có $N$ sao cho $ \forall n>N : d(x_n,x) <\epsilon$
Vì $\{x_{n_k}\}$ hội tụ về $x$ nên tồn tại $K$ sao cho : $\forall m>K: d(x_{n_m}, x) <\dfrac{\epsilon}{2}$
Do $\{x_n\}$ là dãy Cauchy nên tồn tại $H$ sao cho : $\forall p >q>H: d(x_p,x_q)<\dfrac{\epsilon}{2}$
Ta chọn $N=H$, lấy $k_0 >max\{H,K\}$
Khi đó: $\forall n>N: d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_{k_0}})+d(x_{n_{k_0}},x) < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}= \epsilon$
Do đó $\{x_n\}$ hội tụ, nên $X$ là không gian Banach.

$\triangleright$ Chứng minh $X$ được phủ hoàn toàn:

Cho $\nu >0$, ta chứng minh tồn tại một họ hữu hạn $\{ y_1,y_2,...,y_n\}$ mà $$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(y_i,\nu)$$
Lấy $y_1 \in X$, nếu $X \subseteq B(y_1,\nu)$ thì kết thúc chứng minh.
Nếu $X \nsubseteq B(y_1,\nu)$ thì tồn tại $y_2 \notin B(y_1,\nu)$. Xét tiếp tục, nếu $ X \subseteq B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$ thì kết thúc, ngược lại thì tồn tại $y_3 \notin B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$
Cứ tiếp tục như vậy ta xây dựng được $y_1,y_2,....y_n,...$
Nếu dãy này hữu hạn thì $X$ được phủ hoàn toàn.
Nếu dãy là vô hạn, thì ta được một dãy trong $X$. Theo cách xây dựng thì hai phần tử bất kì trong dãy đều cách nhau một khoảng cách $> \nu$ nên dễ dàng chứng minh mọi dãy con đều không hội tụ, mâu thuẫn với tính compact của $X$.

$ii) \Rightarrow i)$

Lấy dãy $\{x_n\}$ trong $X$
Vì $X$ được phủ hoàn toàn nên có thể phủ $X$ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $1$. Suy ra có một quả cầu $\mathfrak{B_1} $bán kính $1$ chứa vô hạn phần tử của $\{x_n\}$
Đặt $A_1=\{k \in \mathbb{N} | x_k \in \mathfrak{B_1} \}$
Đặt $n_1 = minA_1$
Tiếp tục, $X$ được phủ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $\dfrac{1}{2}$ nên có một quả cầu mở $\mathfrak{B_2}$ chứa vô số phần tử của tập $\{x_k | k \in A_1 \setminus \{n_1\}\}$
Đặt $A_2=\{t \in A_1 \setminus \{n_1\} | x_t\in \mathfrak{B_2} \}$
Và đặt $n_2 = minA_2$
Tiếp tục như thế, ta được dãy $n_1<n_2<....<n_k<...$ và dễ dàng chứng minh $\{x_{n_k}\}$ là dãy Cauchy ( vì khoảng cách giữa các phần tử tiến về $0$ ), nên $\{x_{n_k}\}$ hội tụ.
Do có thể tìm được một dãy con hội tụ của $\{x_n\}$ nên $X$ compact.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-08-2016, 11:08 PM   #99
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
$\begin{diagram}
A &\rTo^{a} &B\\
\dTo_{b} & &\dTo_{c}\\
C &\rTo^{d} &D
\end{diagram}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 22-08-2016 lúc 11:11 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:25 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 78.67 k/89.44 k (12.04%)]