|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
20-01-2009, 02:18 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 75 Thanks: 5 Thanked 24 Times in 17 Posts | |
The Following 2 Users Say Thank You to brahman For This Useful Post: | huynhcongbang (25-01-2011), T.Courtin (04-02-2009) |
05-03-2009, 09:45 AM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts | Trích: Ơ Le đã qua con đường sin(x)=x để tính tổng này(sáng tạo toán học của polia nhà sư phạm thiên tài Hung Ga ri sau này làm việc ở Mỹ).Ơ Le đã không được đồng tình của các đồng nghiệp (kể cả gia đình Becnuni là thầy và bạn của ông),mặc dù sau một thời gian sau đó cách đi này mọi người đã công nhận chứng minh của ông là đúng.Sau mười năm ông có cách đi mới. Ta biết $x=x_{k}=cos(\frac{2k\pi}{n})+isin(\frac{2k\pi}{n}) $ k=1..n.Gọi là căn đơn vị bậc n,nghĩa là $x^{n}=1 $.Xét $u=\frac{1+x}{x-1}=\frac{1+cost+isint}{cost+isint-1}=\frac{2cos^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})c os(\frac{t}{2})}{-2sin^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})cos(\frac{ t}{2})}=-icot(\frac{t}{2}) $ $u^{2}=-cot^{2}(\frac{t}{2}) $ Từ công thức của u ta giải được $x=\frac{u+1}{u-1} $,từ $x^{n}=1 $->$(\frac{u+1}{u-1})^{n}=1 $-> $(u-1)^{n}=(u+1)^{n} $->$C^{1}_{n}u^{n-1}+C^{3}_{n}u^{n-3}+...=0 $.Theo định lý viet Ta có $\sum {u_{i}}=0 $ và $\sum{u_{i}u_{j}=\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}} $->$\sum{(u_{i})^{2}}=(\sum {u_{i}})^{2}-2\sum{u_{i}u_{j}=-\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}}=-\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})} $ Vậy là $\frac{(n-1)(n-2)}{6}=\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}) $ Áp dụng bdt $\frac{1}{x^{2}}\leq cot^{2}(x) \leq \frac{1}{sin^{2}(x)}=cot^{2}(x)+1 $ Ta có $\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})\leq \sum\frac{n^{2}}{\pi^{2}k^{2}}\leq (\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}))+n $ ->$\frac{\pi^{2}(n-1)(n-2)}{6n^{2}}\leq\sum\frac{1}{k^{2}}\leq \frac{\pi^{2}(n+1)(n+2)}{6n^{2}} $ Khi cho n-> vô cùng ta có $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2} }+..=\frac{\pi^{2}}{6} $ thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 05-03-2009 lúc 10:39 AM | |
The Following 3 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post: |
Bookmarks |
|
|