Biểu diễn giải tích của đường cong và mặt cong

[beyondinfinity]

Biểu diễn tham số có thể xem như cách nhúng (kèm theo một số điều kiện) của một $d$ chiều vào trong một không gian lớn hơn (đường: 1 chiều, mặt: 2 chiều). Đại khái là ví dụ như $(0,1)$ có thể bị uốn và đặt vào trong $\mathbb{R}^2$ tạo thành 1 đường trong $\mathbb{R}^2$, phép uốn chính là $f: (0,1) \to \mathbb{R}^2$, $u \mapsto f(u)$, nhưng tất nhiên phải uốn theo điều kiện yêu cầu:
- Đường trong không gian topo cần $f$ liên tục.
- Đường trong hình vi phân (trên đa tạp khả vi) cần $f\in C^k$
- Đường trong hình đại số cần $f$ là rational mapping
Trong trường hợp liên tục hoặc vi phân trong $\mathbb{R}^n$ (và trong đa tạp vì cơ bản locally thì đa tạp là $\mathbb{R}^n$), phương trình tham số hóa được dùng để định nghĩa cho đường cong (định nghĩa tổng quát của đường là đa tạp một chiều có thể chứng minh tương đương với định nghĩa tham số). Nhưng trong các trường hợp khác không phải lúc nào cũng tham số hóa được, và cách tham số hóa cũng không duy nhất, ví dụ như "đổi biến" bằng hàm diffeomorphism (song ánh kèm với điều kiện của phép uốn) $\phi: (0,1) \to (0,1)$ thì $f$ và $f\circ \phi$ là hai cách tham số hóa cho cùng một đường (theo nghĩa vi phân).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]