Các phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

[vănđhkh]

Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

A. Lời đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương tr“nh vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương tr“nh phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương tr“nh đơn giản và dễ giải quyết hơn .
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương tr“nh ban đầu về phương tr“nh có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương tr“nh vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương tr“nh cho bởi ẩn phụ vừa t“m được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

Sau đây là bài viết :
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu $ \large |x| \leq a $th“ ta có thể đặt $\large x = asint, \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) $ hoặc $\large x = acost , t \in (0 ; \pi) $
Ví dụ 1 : $\large \sqrt{1 +\sqrt{1 - x^2} } = x(1 + 2\sqrt{1 - x^2}) $
Lời giải : ĐK : $\large |x| \leq 1 $ Đặt $\large x = sint , t \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi}{2}) $ Phương tr“nh đã cho trở thành :
$ \large \sqrt{1 + cost } = sint (1 + 2cost) $
$\Leftrightarrow \large \sqrt{2} cos (\frac{t}{2}) = sint + sin2t = 2sin(\frac{3t}{2})cos(\frac{t}{2}) $
$\Leftrightarrow cos(\large \frac{t}{2} $)($\large \sqrt{2}sin (\frac{3t}{2}) - 1 $ ) = 0
$\Leftrightarrow \large\left\[{cos(\frac{t}{2}) = 0 \\ {sin(\frac{3t}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{t = (2k+1)\pi \\ {t = \frac{\pi }{6} + k\frac{4\pi }{3} $
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : $\large t = \frac{\pi }{6} $
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : $\large x = sin (\frac{\pi }{6}) = \frac{1}{2} $
Ví dụ 2 : $\large \sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}}[\sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3}] = \frac{2}{\sqrt{3} } + \sqrt{\frac{1 - x^2}{3} } $
Lời giải : ĐK : $\large |x| \leq 1 $
Khi đó VP > 0 .
Nếu $\large x \in [-1 ; 0] : \sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} \leq 0 $
Nếu $\large x \in [0 ; 1] $ .
Đặt $\large x = cost $ , với $\large t \in [0 ; \frac{\pi}{2}] $ ta có :
$ \large 2\sqrt{6}(sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))(cos^3(\frac{t}{2}) - sin^3(\frac{t}{2})) = 2 + sint $
$\Leftrightarrow \large 2\sqrt{6}cost(1 + \frac{1}{2}sint) = 2 + sint $
$\Leftrightarrow ( \large \sqrt{6}cost - 1 $ ) ( $\large 2 + sin t $ ) = 0
$\Leftrightarrow \large cost = \frac{1}{\sqrt{6}} $
Vậy nghiệm của phương tr“nh là $ \large x = \frac{1}{\sqrt{6}} $
Ví dụ 3 : $\large \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 2x} } + \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} } $
Lời giải : ĐK : $\large |x| \leq \frac{1}{2} $
Đặt $\large 2x = cost , t \in (0 ; \pi) $
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large (sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))\sqrt{2} = tan(\frac{t}{2}) + cotan (\frac{t}{2}) $
$\Leftrightarrow \large 2(1 + sint) = \frac{4}{sin^2t} $
$\Leftrightarrow \large sin^3t + sin^2t - 2 = 0 $
$\Leftrightarrow \large cost = 0 $
Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất $\large x = 0 $
Ví dụ 4 (TC THTT): $\large x^3 - 3x = \sqrt{x + 2} (1) $
HD :
Nếu $\large x < - 2 $ : phương tr“nh không xác định .
Chú ý với $\large x > 2 $ ta có :
$\large x^3 - 3x = x + x(x^2 - 4) > x > \sqrt{x + 2} $
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với $\large x \in [-2 ; 2] $
Đặt $\large x = 2cost , t \in (0 ; \pi) $
khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : $\large cos3t = cos(\frac{t}{2}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

2. Nếu $\large |x| \geq a $ th“ ta có thể đặt :
$+ \large x = \frac{a}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}) , t \neq 0 $
$ + \large x = \frac{a}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2} $
Ví dụ 5 : $\large x^2(1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} } = 1 $
Lời giải : ĐK : $\large |x| > 1 $
Đặt $\large x = \frac{1}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}) $
Phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large \frac{1}{sin^2t}(1 + cotant) = 1 $
$\Leftrightarrow \large - cos^2t = cotant $
$\Leftrightarrow \large cost(cost + \frac{1}{sint}) = 0 $
$\Leftrightarrow \large\left\[{cost = 0 \\ {sin2t = -1/2} $
$\Leftrightarrow \large t = -\frac{\pi }{12} + k\pi $
kết hợp với điều kiện của t suy ra $\large t = -\frac{\pi }{12} $
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : $\large x = \frac{1}{sin(-\frac{\pi }{12})} = -\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) $
TQ : $\large x^2(a + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} }) = a $
Ví dụ 6 : $\large x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 9} } = 2 $
Lời giải : ĐK : $\large |x| > 3 $
Đặt $\large x = \frac{3}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2} $
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large \frac{1}{cost} + \frac{1}{sint} = 2\sqrt{2} $
$\Leftrightarrow \large 1 + sin2t = 2sin^22t $
$\Leftrightarrow \large sin2t = 1 $
$\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{4} $
$\Leftrightarrow \large x = \frac{3}{cos(\frac{\pi }{4})} = 3\sqrt{2} $ (thỏa mãn)
TQ : $\large x + \frac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2} } = b $
với a,b là các hằng số cho trước
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

File từ VMF
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

3. Đặt $\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) $ để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : $\large x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0 $ (1)
Lời giải :
Do $\large x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3} } $ không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1)$ \Leftrightarrow \large \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \sqrt{3} $ (2)
Đặt $\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) $ .
Khi đó (2) trở thành :
$\large tg3t = \sqrt{3} $
$\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3} $
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
$\large x = tan(\frac{\pi }{9}) ; x = tan(\frac{2\pi }{9}); x = tan(\frac{7\pi }{9}) $
Ví dụ 8 : $\large \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2 + 1}{2x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{2x(1 - x^2)} $
Lời giải : ĐK : $\large x \neq 0 ; x \neq \pm 1 $
Đặt $\large x = tgt , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) , t \neq {0 ; \pm \frac{\pi }{4}) $
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large \frac{1}{cost} + \frac{1}{sin2t} = \frac{2}{sin4t} $
$\Leftrightarrow \large \frac{1}{cost}(1 + \frac{1}{2sint} - \frac{1}{2sint.cos2t}) = 0 $
$\Leftrightarrow \large 2sint.cos2t + cos2t - 1 = 0 $
$\Leftrightarrow \large 2sint(1 - 2sin^2t) - 2sin^2t = 0 $
$\Leftrightarrow \large sint(1 - sint - 2sin^2t) = 0\Leftrightarrow \large\left\[{sint = 0\\{sint = -1}\\{sint = 1/2} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi\\{t = \frac{\pi }{6} + k2\pi $
Kết hợp với điều kiện suy ra : $\large t = \frac{\pi }{6} $
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
$\large x = \frac{1}{\sqrt{3} } $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

4. Mặc định điều kiện : $\large |x| \leq a $ . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 : $\large \sqrt[3]{6x + 1} = 2x $
Lời giải :
phương tr“nh đã cho tương đương với :
$\large 8x^3 - 6x = 1 $ (1)
Đặt $\large x = cost , t \in [0 ; \pi] $:
(1) trở thành :
$\large cos3t = \frac{1}{2} $
:Leftrightarrow $\large t = \pm \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3} (k \in Z) $
Suy ra (1) có tập nghiệm :
$\large S = [cos(\frac{\pi }{9}); cos(\frac{5\pi }{9}) ; cos(\frac{7\pi }{9})] $
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
$\large \sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x $
khi đó :
Đặt $\large \sqrt{f(x)} = t , t > 0 $. Phương trình viết thành :
$\large t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0 $
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh $\large \sqrt{f(x)} = t $ sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : $\large 2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16} $ (1)
lời giải : ĐK : $\large |x| \leq 2 $
Đặt $\large t = \sqrt{2(4 - x^2)} $
Lúc đó :
(1) $\Leftrightarrow \large 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16 $
$\Leftrightarrow \large 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x $Phương tr“nh trở thành :
$\large 4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0 $
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
$\large t_1 = \frac{x}{2} ; t_2 = - \frac{x}{2} - 4 $
Do $\large |x| \leq 2 $ nên $\large t_2 < 0 $ không thỏa điều kiện $\large t \geq 0 $ .
Với $\large t = \frac{x}{2} $ th“ :
$\large \sqrt{2(4 - x^2)} = \frac{x}{2} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{x \geq 0\\{8(4 - x^2) = x^2} $
$\Leftrightarrow \large x = \frac{4\sqrt{2} }{3} $ ( thỏa mãn điều kiên $\large |x| \leq 2) $
Ví dụ 11 : $\large x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36 $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq - 1 $
Đặt $\large t = \sqrt{x + 1} \geq 0 $ .
phương trình đã cho trở thành :
$\large x.t^2 + 12u - 36 = 0 $
$\Leftrightarrow \large t = \frac{-6 \pm 6t }{x} $
* Với $\large t = \frac{-6 - 6t }{x} $ , ta có :
$\large (x + 6)t = - 6 $(vô nghiệm v“ : $\large VT \geq 0 ; VP < 0 $)
* Với $\large t = \frac{-6 + 6t }{x} $ , ta có :
$\large 6 = (6 - x)t $
Do $\large x = 6 $ không là nghiệm của phương tr“nh nên :
$\large t = \frac{6}{6 - x} $
$\Leftrightarrow \large \sqrt{x + 1} = \frac{6}{6 - x} $
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : $\large x = 3 $ (thỏa mãn)
TQ : $\large x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

Ví dụ 12 : $\large 3(\sqrt{2x^2 + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt{2x^2 + 1}) $
Lời giải :
Đặt $\large \sqrt{2x^2 + 1} = t \geq 1 $ .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
$\large 3(t - 1) = x + 3(t^2 - 1) - 3x^2 + 8xt \Leftrightarrow \large 3t^2 - (8x - 3)t - 3x^2 + x = 0 $
Từ đó ta tìm được $\large t = \frac{x}{3} $ hoặc $\large t = 1 - 3x $
Giải ra được : $\large x = 0 $ .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 : $\large 2008x^2 - 4x + 3 = 2007x\sqrt{4x - 3} $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq \frac{3}{4} $
Đặt $\large \sqrt{4x - 3} = t \geq 0 $ .
phương trình đã cho trở thành :
$\large 2008x^2 - 2007xt - t^2 = 0 $
Giải ra : $\large x = t $ hoặc $\large x = - \frac{t}{2008} $ (loại)
* $\large x = t $ ta có :
$\large x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \large\left\[{x = 1\\{x = 3} $
Vậy $\large x = 1 , x = 3 $ là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 : $\large (4x - 1)\sqrt{x^3 + 1} = 2x^3 + 2x + 1 $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq -1 $
Đặt $\large t = \sqrt{x^3 + 1} $
Phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large 2(t^2 - 1) + 2x + 1 = (4x - 1)t \Leftrightarrow \large 2t^2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0 $
Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : $\large x^2 + \sqrt{x + \frac{3}{2} } = \frac{9}{4} $(1)
Lời giải : ĐK : $\large x \geq - \frac{3}{2} $.
Đặt $\large \sqrt{x + \frac{3}{2} } = t , t \geq 0 $.
phương tr“nh (1) trở thành :
$\large (t^2 - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - t $
$\Leftrightarrow \large t(t^3 - 3t + 1) = 0 $
$\Leftrightarrow \large\left\[{t = 0 \\ {t^3 - 3t + 1 = 0 (2)} $
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $\large x = 2cost , t \in (0 ; \pi) $ để đưa về dạng : $\large cos3t = - \frac{1}{2} $
TQ : $\large x^2 + \sqrt{x + a} = a^2 $
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : $\large x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} = 0 $ (1)
Lời giải : ĐK : $\large x \geq - 2 $
Viết lại (1) dưới dạng :
$\large x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0 $(2)
Đặt $\large t = \sqrt{x + 2} \geq 0 $.
Khi đó (2) trở thành :
$\large x^3 - 3xt^2 + 2y^3 $
$\Leftrightarrow \large (x - t)^2(x + 2t) = 0 $
Do vậy $\large x = t $ hoặc $\large x = -2t $
*$\large x = t $. Ta có :
$\large x = \sqrt{x + 2} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{x \geq 0 \\ {x^2 - x - 2 = 0} $
$\Leftrightarrow \large x = 2 $
*$ \large x = -2t $ . Ta có :
$\large x = - \sqrt{x + 2} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{x \leq 0 \\ {x^2 - 4x - 8 = 0} $
$\Leftrightarrow \large x = 2 - 2\sqrt{3} $
Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : $\large x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3} $
Ví dụ 17 : $\large x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0 $
Lời giải : ĐK : $\large x \in [1 ; 6] $(1)
Đặt $\large t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0 $ (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 $(3)
$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 $
$\Leftrightarrow \large (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0 $
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
$\large x = \frac{11 - \sqrt{17} }{2} $
Ví dụ 18 : $\large x = (2006 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{1 - \sqrt{x} })^2 $
Lời giải : ĐK : $\large x \in [0 ; 1] $ (1)
Đặt $\large t = \sqrt{1 - \sqrt{x} } $
$\Rightarrow \large 0 \leq t \leq 1 $
Khi đó : $\large \sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 $.
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\large (1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2 $
$\Leftrightarrow \large (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 $
$\Leftrightarrow \large 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003) $
V“ $\large 0 \leq t \leq 1 $ nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương tr“nh tương đương với :
$\large t - 1 = 0 $
$\Leftrightarrow \large t = 1 $
Do vậy $\large x = 0 $ (thỏa (1))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 : $\large \sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3 $
Lời giải :
Đặt $\large a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1} $
$\Rightarrow \large a^2 - b^2 = 9x - 3 $
$\Rightarrow \large a - b = a^2 - b^2 $
$\Leftrightarrow \large (a - b)(a + b - 1) = 0 $
*$\large a - b = 0 $
$\Rightarrow \large x = \frac{1}{3} $
*$ \large a + b - 1 = 0 $
$\Rightarrow \large\left\{{a - b = 9x - 3\\{2a = 9x - 2} $
$\Rightarrow \large\left\[{x = 0\\{x = \frac{56}{65}} $
Ví dụ 20 : $\large 2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8} $ (1)
Lời giải : ĐK : $\large - 2 \leq x \leq 1 $ hoặc$\large x \geq 2 $ (*)
Đặt $\large u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2} $ ta có :
$\large u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 . $
(1) trở thành :
$\large 2(u^2 - v^2) = 3uv $
$\Leftrightarrow \large (2u + v)(u - 2v) = 0 $
$\Leftrightarrow \large u = 2v $ (Do $\large 2u + v > 0 $)
T“m x ta giải :
$\large \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} $
$\Leftrightarrow \large x^2 - 6x - 4 = 0 $
$\Leftrightarrow \large x = 3 \pm \sqrt{13} $ (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :
$\large x = 3 \pm \sqrt{13} $
Ví dụ 21 : $\large \sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1} $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq 5 $
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
$\large (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)} $
$\Leftrightarrow \large 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0 $(2)
Đặt $\large u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)} $ và $\large v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 . $
Th“ :
(2) $\Leftrightarrow \large 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 $
$\Leftrightarrow \large (u - v)(2u - 3v) = 0 $
* $\large u = v $ ta có :$\large x^2 - 5x - 9 = 0 $
* $\large 2u = 3v $ ta có : $\large 4x^2 - 25x - 56 = 0 $
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
$\large x = \frac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8 $
Ví dụ 22 : $\large \sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}
$
lời giải : ĐK : $\large 0 \leq x \leq 1 $
Đặt :
$\large\left\{{u = \sqrt[4]{x} \\ {v = \sqrt[4]{1 - x}}\Rightarrow \large\left\{{u \geq 0}\\{v \geq 0}\\{u^4 + v^4 = 1} $
Từ phương tr“nh ta được :
$\large u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v \Leftrightarrow \large (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0\Leftrightarrow \large (u - v)(1 - u - v) = 0 $( Do $\large u + v > 0 $)
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
$\large x = 0 , x = \frac{1}{2} , x = 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 : $\large \sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2 $
Lời giải :
Đặt $\large a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} $ ta có :
$\large a + b + c = 2 $
$\large a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8 $ (1)
Mặt khác : $\large (a + b +c)^3 = 8 $ (2)
Từ (1) và (2) ta có :
$\large (a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a) $
Nên :
$\large (a + b)(b + c)(c + a) = 0 $
:Leftrightarrow $\large\left\[{a = -b}\\{b = -c}\\{c = -a} $
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :
$\large S = (- 1 ; 0 ; 1 ; 9) $
Ví dụ 24 : $\large \sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0 $ (1)
Lời giải :
Đặt $\large a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9} $
Suy ra : $\large a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3 $
khi đó từ (1) ta có :
$\large (a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3) $
:Leftrightarrow $\large (a + b)(b + c)(c + a) = 0 $
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :
$\large x = -3 ; x = 4 ; x = \frac{8}{5} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 : $\large x^2 + \sqrt{x + 5} = 5 $
Lời giải :ĐK : $\large x \geq - 5 $
Đặt $\large t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 $ . Ta có :
$\large x = t^2 - 5 $
$\Rightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{t^2 - x = 5} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{x^2 - t^2 + t + x = 5} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{(x + t)(x + 1 - t) = 0} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{\left\{{x^2 + t = 5}\\{x + t = 0}}\\{\left\{{x^2 + t = 5 \\{x + 1 - t = 0}}} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{x = \frac{1 - \sqrt{21} }{2} \\ x = \frac{- 1 - \sqrt{21} }{2}} $
TQ : $\large x^2 + \sqrt{x + a} = a $
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
$\large \sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c $
* Cách giải :
Đặt :
$\large u = \sqrt[m]{a + f(x)} $
$\large v = \sqrt[n]{b - f(x)} $
Như vậy ta có hệ :
$\large\left\{{u + v = c \\{u^m + v^n = a + b} $
Ví dụ 26 : $\large \sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5 $ (1)
Lời giải : ĐK :$ \large - 40 \leq x \leq 57 $
Đặt $\large u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40} $
Khi đó :
(1) $\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{u^4 + v^4 = 97} $:Leftrightarrow $\large\left\{{u + v = 5 \\{[(u + v)^2 - 2uv]^2 - 2u^2v^2 = 97} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{\left\[{uv = 6 \\{uv = 44}} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{uv = 6} $ (Do hệ : $\large u + v = 5 , uv = 44 $ : vô nghiệm )
$\Leftrightarrow \large u = 2 ; v = 3 $hoặc $\large u = 3 ; v = 2 $
Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu .
Ví dụ 27 : $\large \sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \frac{1}{\sqrt[4]{2} } $
Lời giải : ĐK : $\large 0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1 $
Đặt :
$\large\left\{{\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u \\{\sqrt[4]{x} = v} $Với :
$\large\left\{{0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} \\ {0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1} $ (*)
Như vậy ta được hệ :
$\large\left\{{u + v = \frac{1}{\sqrt[4]{2} } \\ u^2 + v^4 = \sqrt{2} - 1} $
$\Leftrightarrow \large\left\{{u = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} - v \\ {(\frac{1} {\sqrt[4]{2}} - v)^2 + v^4 = \sqrt{2} - 1 (1)} $
Giải (1) :
(1)
$\Leftrightarrow \large (v^2 + 1)^2 - (\frac{1}{\sqrt[4]{2}} + v)^2 = 0 $
$\Leftrightarrow \large v^2 - v + 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{2}} $
$\Leftrightarrow \large v_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{4}{\sqrt[4]{2} } - 3} }{2} $ ($\large v_{1,2} > 0 $)
Vậy $\large V_{1,2} $ thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .
Ví dụ 28 : $\large \sqrt{\frac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2 $
Lời giải :
Đặt :
$\large y = \sqrt{x} , y \geq 0 $
$\large z = 1 - \sqrt{x} $
$\Rightarrow \large\left\{{y + z = 1 (2) \\{y^4 - z^4 = \frac{7}{4}\sqrt{x} - 1 = \frac{7}{4}y - 1 (1)} $
(2) $\Rightarrow $
(1) $\Leftrightarrow \large y^4 - (1 - y)^4 = \frac{7}{4}y - 1 $
$\Leftrightarrow \large 4y(y - \frac{3}{4})^2 = 0 $
$\Leftrightarrow \large\left\[{y = 0 \\{y = \frac{3}{4}} $
$\Leftrightarrow \large\left\[{x = 0 \\{x = \frac{9}{16}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 : $\large x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b} $
CG : Đặt $\large t = \sqrt[n]{ax - b} $ ta có hệ :
$\large\left\{{x^n + b = at\\{t^n + b = ax} $
Ví dụ 29 : $\large x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1} $
Lời giải :
Đặt : $\large t = \sqrt[3]{2x - 1} $ ta có : $\large t^3 = 2x - 1 $
:Rightarrow $\large\left\{{x^3 + 1 = 2t\\{t^3 + 1 = 2x} $
:Leftrightarrow $\large\left\{{x^3 + 1 = 2t \\{x^3 - t^3 = 2(t - x)} $
:Leftrightarrow $\large\left\{{x^3 + 1 = 2t \\{(x - t)(x^2 + t^2 + t + tx + 2) = 0} $
:Leftrightarrow $\large\left\{{x = t\\{x^3 - 2x + 1 = 0 (1)} V \large\left\{{x^3 + 1 = 2t\\{x^2 + t^2 + tx + 2 = 0 (2)} $
(1) :Leftrightarrow $\large (x - 1)(x^2 + x - 1) = 0 $:Leftrightarrow $\large\left\{{x = 1 \\{x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}} $
(2) :Leftrightarrow $\large (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0 $: Vô nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :
$\large S = (1 ; \frac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}) $
Dạng 2 : $\large x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} } $
CG : ĐẶt $\large t = a + \sqrt{x} $
PT :Leftrightarrow $\large\left\{{x = a + \sqrt{t} \\{t = a + \sqrt{x}} $
Ví dụ 30 : $\large x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} } $
Lời giải : ĐK : $\large x > 0 $
Đặt : $\large t = 2007 + \sqrt{x} $ (1)
PT :Leftrightarrow $\large\left\{{x = 2007 + \sqrt{t} (2) } \\{t = 2007 + \sqrt{x}(3)} $
Lấy (3) trừ (2) ta được :
$\large x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x} $
:Leftrightarrow $\large (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0 $
:Leftrightarrow $\large x = t $
(1) :Leftrightarrow $\large x - \sqrt{x} - 2007 = 0 $
:Leftrightarrow $\large x = \frac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4} $ (Do $\large x > 0 $)
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 : $\large x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1} $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq \frac{1}{2} $
Đặt$\large \sqrt{2x - 1} = ay + b $.
Chọn a, b để hệ :
$\large\left\{{x^2 - 2x = 2(ay + b) \\{(ay + b)^2 = 2x - 1} $ ($\large x \geq \frac{1}{2} ; y \geq 1 $) (*)
là hệ đối xứng .
Lấy $\large a = 1 , b = - 1 $ta được hệ :
$\large\left\{{x^2 - 2x = 2(y - 1) \\{y^2 - 2y = 2(x - 1)} $
:Leftrightarrow $\large\left\{{x^2 - 2x = 2(y - 1) \\{x^2 - y^2 = 0} $
Giải hệ trên ta được : $\large x = y = 2 \pm \sqrt{2} $
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là : $\large x = 2 + \sqrt{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh : $\large \sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta $
Với các hệ số thỏa mãn :
$\large\left\{{d = ac + \alpha} \\ {e = bc + \beta } $
Cách giải :
Đặt $\large dy + e = \sqrt[n]{ax + b} $
Ví dụ 32 : $\large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7 $
Lời giải : ĐK : $\large x \geq - \frac{9}{4} $
PT :Leftrightarrow $ \large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{4} $
- Kiểm tra : $\large a = \frac{1}{7} ; b = \frac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \frac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \frac{7}{4} . $
Đặt : $\large y + \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } $
:Leftrightarrow $\large y^2 + y + \frac{1}{4} = \frac{4x + 9}{28} $
:Leftrightarrow $\large 7y^2 + 7y + \frac{7}{4} = x + \frac{9}{4} $
:Leftrightarrow $\large x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7 $ (1)
Mặt khác : $\large y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x $ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
$\large\left\{{ x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\{ y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x } $Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : $\large x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 . $
Lời giải :
PT :Leftrightarrow $\large (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3} $
- Kiểm tra : $\large a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 . $
Đặt : $\large y - 3 = \sqrt{x + 3} $
:Leftrightarrow $\large y^2 - 6y + 9 = x + 3 $
:Leftrightarrow $\large x - 3 = y^2 - 6y + 3 $ (1)
Mặt khác : $\large y - 3 = x^2 - 6x + 3 $ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
$\large\left\{{x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\{ y - 3 = x^2 - 6x + 3 } $
Ví dụ 34 : $\large \sqrt[3]{3x - 5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 $
Lời giải :
PT :Leftrightarrow $\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x)^3 - 3.4x^2.3 + 3.9.2x - 27 - x + 2 $
:Leftrightarrow $\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x -3)^3 - x + 2 $
- Kiểm tra :$ \large a = 3 ; b = - 5 ; c = 1 ; d = 2 ; e = - 3 ; \alpha = - 1 ; \beta = 2 . $
Đặt : $\large 2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5} $
:Leftrightarrow $\large (2y - 3)^3 = 3x - 5 $
:Leftrightarrow $\large 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27 = 3x - 5 $
:Leftrightarrow $\large 8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3 $ (1)
Mặt khác : $\large 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 $ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
$\large\left\{{8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\{8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3} $
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!


**********
còn tiếp...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vănđhkh]

Tải file PDF[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]