Tính chuẩn 2

[Galois_vn]

Xét ma trận cấp $n, A\in R^{n\times n} $. Vấn đề đặt ra là xác định $||A||_{2}. $

Với chuẩn được định nghĩa $||A||_{2}=\sup_{0\neq x\in R^n}\frac{||Ax||_2}{||x||_2}. $

$x=(x_1, ..., x_n), ||x||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}. $

Bàn về hướng giải quyết:
1. Có thể qui về bài toán cực trị có điều kiện.
2. Có thể giải quyết bài toán trị riêng.

Vấn đề 1 hình như việc thêm nhân tử Lagrange $\lambda $ cũng có vai trò như trị riêng.
Vấn đề đặt ra là có thể né việc tìm trị riêng để giải quyết bài toán trên không? Vì bài toán trị riêng sẽ gặp rắc rối khi $n $ lớn.

Để các bạn THPT rành về BĐT có thể ra tay, tôi xin chuyển bài toán thành:
Tìm hằng số $k\ge 0 $ tốt nhất sau cho:


$\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j)^2\le k^2 (\sum_{m=1}^n x_m^2). $ Với $ a_{ij} $ cho trước.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cái chuẩn $\|\cdot\|_2$ là chuẩn phổ [Only registered and activated users can see links. ], và nó bằng căn bậc hai của giá trị riêng lớn nhất của $A^{\ast}A$, và là giá trị kỳ dị lớn nhất của $A.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi 99

Cái chuẩn $\|\cdot\|_2$ là chuẩn phổ [Only registered and activated users can see links. ], và nó bằng căn bậc hai của giá trị riêng lớn nhất của $A^{\ast}A$, và là giá trị kỳ dị lớn nhất của $A.$

Chon n lớn thì vấn đề tìm ra trị triêng lớn nhất bất khả thi.

Có kết quả nào để đánh giá trị riêng lớn nhất so với các hệ số không anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài toán về giá trị riêng làm thành cả một ngành toán đấy [Only registered and activated users can see links. ] ví dụ bạn đọc trong cái file này để xem các cách người ta tìm ra, xấp xỉ giá trị riêng.

Cũng có một vài kết quả đánh giá giá trị riêng, nhưng mình nghĩ không xài được cho ứng dụng (những kết quả mình biết).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]