Hai bài chứng minh hội tụ

[thephuong]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Xét TH $|f(x)-f(y)|<|x-y|$
Do đó tồn tại $q \in (0;1)$ thỏa mãn $f(x)-f(y)\leq q|x-y|$
Xét hàm số: $g(x)=\dfrac{x+f(x)}{2}$ trên \left [ a,b \right ]
Ta có: $|g(x)-g(y)|=\left |\dfrac{x+f(x)}{2}-\dfrac{y+f(y)}{2} \right |=\left |\dfrac{x-y}{2}+\dfrac{f(x)+f(y)}{2} \right| \leq |x-y|$
$\Rightarrow |x_n-x_m|=|g_{n-1}-g_{m-1}|\leq q|x_{n-1}-x_{n-2}| \leq ... \leq q^m|x_{n-m}-x_0|$
$\Rightarrow |x_n-x_0|\leq |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_1-x_0|\leq (q^{n-1}+...+1)$
$\Rightarrow {x_n}$ bị chặn
$\Rightarrow$ tồn tại $N$ thỏa mãn $p^N|x_n-x_0|<\epsilon$ với $\epsilon$ là số dương bé tùy ý.
Do đó ${x_n}$ là dãy Cauchy nên ${x_n}$ hội tụ

Bài này có lẽ cần xem lại, theo mình thì ko thể xét trường hợp như tranghien được vì có quá nhiều trường hợp phải xét, điều này chỉ nên xét với mỗi bộ (x,y) nào đó thôi, với mọi x, y thì ko nên làm thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]