Hàm số

777 · 27-07-2010, 11:04 AM

Cho đồ thị hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c $. 1 đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2),C(x_3;y_3) $ sao cho $|AB|=|BC| $
CM: $f(x_2-x)+f(x_2+x)=2y_2 $ với mọi $x\in R $

Mọi người giúp mình bài này với!

**novae** · 27-07-2010, 12:01 PM

qua một phép tịnh tiến hệ trục tọa độ thì độ dài đoạn thẳng ko đổi nên ta chỉ cần CM với hàm số $F(X)=aX^3+bX $ trong mặt phẳng tọa độ O'XY
đặt $A(X_1;Y_1);B(X_2;Y_2);C(X_3;Y_3);(X_1\ne X_3) $
ta có $Y_1=aX_1^3+bX_1;Y_2=aX_2^3+bX_2;Y_2=aX_2^3+bX_2 $, vì B là trung điểm AC nên $X_1+X_3=2X_2;Y_1+Y_3=2Y_2 $, suy ra
$(X_1+X_3)^3=4(X_1^3+X_3^3)\Rightarrow (X_1+X_3)(X_1-X_3)^2=0 \\ \Rightarrow X_1+X_3=0\Rightarrow X_2=Y_2=0 $
do đó $F(X_2-X)+F(X_2+X)=F(-X)+F(X)=0=2Y_2 $ (vì $F(x) $ là hàm lẻ)

777 · 27-07-2010, 05:49 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

qua một phép tịnh tiến hệ trục tọa độ thì độ dài đoạn thẳng ko đổi nên ta chỉ cần CM với hàm số $F(X)=aX^3+bX $ trong mặt phẳng tọa độ O'XY

a và b trên kia là khác a,b của đề bài phải ko bạn.
Có phải là do đặt $X=x-\frac{a}{3} $ ko vậy?

**novae** · 27-07-2010, 06:06 PM

không phải là đặt $X=x-\frac{a}{3} $ mà tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\overrightarrow{UO} $ trong đó U là điểm uốn của đồ thị hàm số, trong đề bài hệ số của $x^3 $ bằng 1 nên sau khi tịnh tiến thì hệ số của $X^3 $ vẫn bằng 1, không có hệ số a của $X^3 $ như trên kia

27-07-2010, 11:04 AM	#1
777 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 12 Thanks: 18 Thanked 5 Times in 4 Posts	Hàm số Cho đồ thị hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c $. 1 đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2),C(x_3;y_3) $ sao cho $\|AB\|=\|BC\| $ CM: $f(x_2-x)+f(x_2+x)=2y_2 $ với mọi $x\in R $ Mọi người giúp mình bài này với!

27-07-2010, 12:01 PM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	qua một phép tịnh tiến hệ trục tọa độ thì độ dài đoạn thẳng ko đổi nên ta chỉ cần CM với hàm số $F(X)=aX^3+bX $ trong mặt phẳng tọa độ O'XY đặt $A(X_1;Y_1);B(X_2;Y_2);C(X_3;Y_3);(X_1\ne X_3) $ ta có $Y_1=aX_1^3+bX_1;Y_2=aX_2^3+bX_2;Y_2=aX_2^3+bX_2 $, vì B là trung điểm AC nên $X_1+X_3=2X_2;Y_1+Y_3=2Y_2 $, suy ra $(X_1+X_3)^3=4(X_1^3+X_3^3)\Rightarrow (X_1+X_3)(X_1-X_3)^2=0 \\ \Rightarrow X_1+X_3=0\Rightarrow X_2=Y_2=0 $ do đó $F(X_2-X)+F(X_2+X)=F(-X)+F(X)=0=2Y_2 $ (vì $F(x) $ là hàm lẻ) B là điểm uốn của đồ thị hàm số __________________ M.

27-07-2010, 06:06 PM	#4
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	không phải là đặt $X=x-\frac{a}{3} $ mà tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\overrightarrow{UO} $ trong đó U là điểm uốn của đồ thị hàm số, trong đề bài hệ số của $x^3 $ bằng 1 nên sau khi tịnh tiến thì hệ số của $X^3 $ vẫn bằng 1, không có hệ số a của $X^3 $ như trên kia theo thói quen xét hàm $ax^3+bx^2+cx+d $ __________________ M.