Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-11-2010, 09:00 PM   #1
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Phương pháp quy nạp toán học

Xin mời các bạn dùng phương pháp quy nạp chứng minh:

1. Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:
$\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7n}{15} $ là số nguyên.

2.Với mọi số nguyên dương n>=2 đều có thể phân tích được thành tích các số nguyên tố.

3.Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:
$3^n+7^n - 2 $ chia hết 8

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 08-11-2010 lúc 09:14 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-11-2010, 10:09 PM   #2
duynhan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 231
Thanks: 103
Thanked 118 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
1. Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:
$\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7n}{15} $ là số nguyên.
Ta chứng minh:

$3n^5 + 5n^3+ 7n \vdots 15 \forall n \in N* $(1)

(1) đúng với n=1.
Giả sử (1) đúng với $n=k k\in N* $ tức là:

$3k^5 + 5k^3 + 7k \vdots 15 $

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1 $, tức là phải chứng minh:

$3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) \vdots 15 $

Mà :
$3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) - (3k^5 + 5k^3 + 7k) \\ =3( (k+1)^4 + k(k+1)^3 + k^2(k+1)^2 + k^3(k+1) + k^4 ) + 5((k+1)^2 + k(k+1) + k^2 ) + 7 \\ = 15 k^4 + 30k^3 + 45k^2 + 30k+ 15 \vdots 15 $

$--> 3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) \vdots 15 $

Vậy (1) đúng với mọi $n \in N* $


------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
3.Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:
$3^n+7^n - 2 $ chia hết 8
$n=1 $ đúng.
Giả sử $n=k $ đúng.
CM đúng với $n=k+1 $

$3^{k+1}+7^{k+1} - 2 = 3.(3^k+ 7^k -2) + 4.(7^k + 1) \vdots 8 $ do $7^k+1 \vdots 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: duynhan, 08-11-2010 lúc 10:23 PM Lý do: Tự động gộp bài
duynhan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to duynhan For This Useful Post:
batigoal (08-11-2010), huynhcongbang (08-11-2010), Thanh Ngoc (21-11-2010)
Old 08-11-2010, 10:58 PM   #3
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Bổ sung thêm phương pháp quy nạp toán học:

Bài1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>=0 .Ta có:
$1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2} $ chia hết 13

Bài2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n.Ta có:
$2^{2^{n}}+3^{2^{n}}+5^{2^{n}} $ chia hết 19
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 08-11-2010 lúc 11:12 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-11-2010, 11:53 AM   #4
abctom123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 48
Thanks: 50
Thanked 13 Times in 11 Posts
Giải một bài toán cũng dùng phương pháp quy nạp.
So sánh hai số A & B biết
A=$(2010^{2010}+2011^{2010})^{2011} $

B=$(2010^{2011}+2011^{2011})^{2010} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
abctom123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-11-2010, 05:04 PM   #5
duynhan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 231
Thanks: 103
Thanked 118 Times in 68 Posts
Th Minisorvete

Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Bổ sung thêm phương pháp quy nạp toán học:

Bài1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>=0 .Ta có:
$1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2} $ chia hết 13
Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1.
Tức là cần chứng minh:

$ 1+ 2^4. 2^{4k+2}+ 3^4.3^{4k+2} + 4^4.4^{4k+2}+5^4. 5^{5k+2} + 6^4.6^{4k+2} \vdots 13 $

hay cần chứng minh:

$1+ 3. 2^{4k+2}+ 3.3^{4k+2} + 9.4^{4k+2}+5^{5k+2} +9.6^{4k+2} \vdots 13 $

Kết hợp giả thiết quy nạp ta cần chứng minh:

$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \vdots 13 $

mà ta lại có:
$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \\ = (2^{4k+2}+1)(2^{4k+2}+3^{4k+2}) = (2^{4k+2}+1)(4^{2k+1}+9^{2k+1}) \vdots (9+4) = 13 $
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Với mọi nguyên dương n.Ta có:
$2^{2^{n}}+3^{2^{n}}+5^{2^{n}} $ chia hết 19
Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:
$4^{2^{k}}+9^{2^{k}}+25^{2^{k}} \vdots 19 $

Ta có: $\begin{cases} 4^{2^{k}} \equiv 15^{2^k}(mod 19) \\ 9^{2^{k}} \equiv 10^{2^k}(mod 19) \\ 25^{2^k} \equiv 6^{2^{k}}(mod 19) \end{cases} $

Bình phương giả thiết quy nạp + điều trên ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: duynhan, 09-11-2010 lúc 05:17 PM Lý do: Tự động gộp bài
duynhan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to duynhan For This Useful Post:
batigoal (09-11-2010), smiley (12-11-2010)
Old 09-11-2010, 08:47 PM   #6
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Mời các bạn chứng minh PP quy nạp toán học (tiếp)

Bài 1: Cho dãy Fibonaci cho bởi : $f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_n + f_{n+1} $.CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có:
$f_1+f_3+...+f_{2n-1}=f_{2n} $.

Bài 2:Cho dãy Fibonaci cho bởi : $f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_n + f_{n+1} $CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có:
$f_2+f_4+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-11-2010, 09:15 PM   #7
duynhan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 231
Thanks: 103
Thanked 118 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Mời các bạn chứng minh PP quy nạp toán học (tiếp)

Bài 1: Cho dãy Fibonaci cho bởi : $f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_n + f_{n+1} $.CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có:
$f_1+f_3+...+f_{2n-1}=f_{2n} $.
n=1 đúng.
giả sử đúng với n=k
TA cần chứng minh đúng với n=k+1

$f_{2k+2} = f_{2k}+f_{2k+1} = f_1+f_3+...+f_{2k-1}+f_{2k+1} $

Vậy CT luôn đúng.

Bài 2:
n=1 đúng.
Giả sử n=k đúng.
CM đúng với n=k+1.

$f_{2n+3}-1 = f_{2n+1}-1 + f_{2n+2} = f_2+f_4+...+f_{2n} + f_{2n+2} $

Vậy CT luôn đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
duynhan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to duynhan For This Useful Post:
batigoal (09-11-2010)
Old 12-11-2010, 11:24 AM   #8
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Chứng minh quy nạp
Bài 1:Cho dãy Fibonacci : $f_0=0,f_1=1,f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $.CMR $f_{n} $ chia hết 2 khi và chỉ khi n chia hết 3

Bài 2: CM với mọi số n nguyên dương ta có:
$1+(\frac{1+\sqrt{17}} {2})^{2^n}+(\frac{1-\sqrt{17}} {2})^{2^n} $ chia hết 5
Bài 3: vội quá post sau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-11-2010, 02:50 PM   #9
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Chứng minh quy nạp
Bài 1:Cho dãy Fibonacci : $f_0=0,f_1=1,f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $.CMR $f_{n} $ chia hết 2 khi và chỉ khi n chia hết 3
$f_{n+3}=f_{n+2}+f_{n+1}=f_{n+1}+f_{n}+f_{n+1}=2f_{ n+1}+f_{n} $
Từ đó suy ra $f_{n+3} \equiv f_{n} \pmod{2} $
$\Rightarrow f_{3k} \vdots 2,f_{3k \pm 1} \not\vdots \, 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
batigoal (21-11-2010)
Old 21-11-2010, 10:35 AM   #10
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Mời các bạn chứng minh bài toán sau theo pp quy nạp:

Cho các số nguyên không âm a,b,c,d,e,f.CM Rằng mọi số nguyên dương n>=5 đều có thể biểu diễn dưới dạng:
n=a+2b+5c+10d+20e+50f.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-11-2010, 08:35 PM   #11
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Mời các bạn chứng minh bài toán sau theo pp quy nạp:

Cho các số nguyên không âm a,b,c,d,e,f.CM Rằng mọi số nguyên dương n>=5 đều có thể biểu diễn dưới dạng:
n=a+2b+5c+10d+20e+50f.
Sao bài này diễn đàn chúng ta chưa có ai giải vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-11-2010, 09:10 PM   #12
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Sao bài này diễn đàn chúng ta chưa có ai giải vậy?
Vì bài toán được phát biểu không rõ ràng.

Nếu a, b, c, d, e, f cho trước thì đề không đúng. Còn nếu a, b, c, d, e, f phải tìm thì kết luận là hiển nhiên: chọn a = n, b = c = d = e = f = 0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-11-2010, 09:27 PM   #13
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Vì bài toán được phát biểu không rõ ràng.

Nếu a, b, c, d, e, f cho trước thì đề không đúng. Còn nếu a, b, c, d, e, f phải tìm thì kết luận là hiển nhiên: chọn a = n, b = c = d = e = f = 0.
Vâng bài toán này em khái quát hóa rút ra từ 1 câu hỏi thực tế mà đời sống chúng ta hay gặp.
Đó là ở cây ATM thường có các loại tiền 10 nghin,20 nghìn,50 nghìn,100 nghìn,200 nghìn và 500 nghìn. mỗi lần số tiền được rút ít nhất là 50 nghìn máy mới hoạt động. câu hỏi đặt ra 1 người muốn rú bất kì số tiền nào >=50 nghìn máy đều đáp ứng được .
Và em muốn thông qua toán học chúng ta cũng có thể chứng minh được với số n đủ lớn bất kì đều có biểu diễn qua được số tờ tiền cho phép.
Mong các thành viên có thể khái quát hóa bài toán này đúng theo tinh thần quy nạp và giải quyết bài toán..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 22-11-2010 lúc 09:30 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:33 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 91.37 k/105.94 k (13.76%)]