Cực trị hình học

[anh ánh]

Tam giác nào nằm trong (trên) một hình bình hành cho trước có diện tích lớn nhất?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi anh ánh

Tam giác nào nằm trong (trên) một hình bình hành cho trước có diện tích lớn nhất?

Bạn chứng minh mọi tam giác nằm trong hình bình hành có diện tích không vược quá $1/2$ diện tích hình bình hành.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[anh ánh]

Nguyên văn bởi sang89

Bạn chứng minh mọi tam giác nằm trong hình bình hành có diện tích không vược quá $1/2$ diện tích hình bình hành.

Đó là một cách hỏi khác mà bạn. Cho mình ý tưởng chứng minh được không? Mình nghĩ suốt mà không được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi anh ánh

Tam giác nào nằm trong (trên) một hình bình hành cho trước có diện tích lớn nhất?

Xét hình bình hành $ABCD$ và tam giác $MNP$ nằm trong hình bình hành. Trước hết, bạn có thể nhận xét được 3 cạnh của tam giác này phải nằm trên các cạnh của hình bình hành.

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $M \in AB$. Nếu $N, P$ cùng nằm trên $AD$ hoặc $BC$ thì dể thấy rằng diện tích của nó nhỏ hơn $1/2$ diện tích hình bình hành. Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp $N \in AD$ và $P\in BC$ (chú ý không cần xét trường hợp $P \in CD$).

Đến đây, có 2 hướng giải quyết. Nếu bạn đã học qua vector thì xem cách 1, còn nếu muốn dùng tỷ số diện tích thì xem cách 2.

Cách 1:

$$\begin{aligned}\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP} &= \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\right) \times \left(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BP}\right) \\&= \overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{BP} \\&= \overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{BP} \end{aligned}$$ Do đó, $$\begin{aligned}2S[MNP] &= \left|\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\right| \\&\leq \left|\overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MB}\right| + \left|\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{BP}\right| \\&= AN \cdot MB \cdot \sin A + MA \cdot BP \cdot \sin B \end{aligned}$$ Cố định $M$, diện tích tam giác lớn nhất khi $N$ trùng $D$ và $P$ trùng $C$.

Cách 2:

Ta sẽ chứng minh $S[MNP] \leq S[BCD]$. Nhận xét rằng tam giác $BNP$ có chung cạnh đáy với tam giác $MNP$ và có chung đường cao với tam giác $BCD$. Do đó, ta sẽ dùng tam giác này làm trung gian. Vẽ $MS$ song song $BC$ cắt $NP$ ở $S$. Khi đó, $$\dfrac{S[MNP]}{S[BCD]} = \dfrac{S[MNP]}{S[BNP]} \cdot \dfrac{S[BNP]}{S[BCD]} = \dfrac{MS}{BP}\cdot \dfrac{BP}{BC} = \dfrac{MS}{BC} \leq 1$$ Đẳng thức xảy ra khi $MS = BC$, tức $N$ trùng $D$, $P$ trùng $C$ Đây là tam giác cần dựng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]