Tìm k để bất đẳng thức luôn đúng

[Snow Bell]

Chào các bạn,
Ở topic này,[Only registered and activated users can see links. ],anh o0soipro0o có đưa một bất đẳng thức như sau:
Chứng minh rằng: $ A= \sum \dfrac{a+2b}{a+2c} \ge 3 $
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng Cauchy Shwarz.
Và không dừng tại đó,anh o0soipro0o đã đặt ra câu hỏi: tìm $ k $ để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $ a,b,c \ge 0 $:
$$ \frac{a+kb}{a+kc}+\frac{b+kc}{b+ka}+\frac{c+ka}{c+ kb} \ge 3 $$

Mình xin tổng kết những kết quả đã tìm được trong topic trước:

Trường hợp $ k<0 $ thì bất đẳng thức không đúng với mọi $ a,b,c $.
Cụ thể tại $ k=-1 $,cho $ a=1,b=2,c=3 $ thì bất đẳng thức sai.

Trường hợp $ k \ge -1+\sqrt{3} $:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:
$$ \sum \frac{a+kb}{a+kc} \ge \frac{(k+1)^2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+(k^2+2k)(ab+bc +ca)}=\frac{(k+1)^2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(k^2+2k-2)(ab+bc+ca)} $$
Lại có:
$$ \frac{(k+1)^2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(k^2+2k-2)(ab+bc+ca)} \ge \frac{(k+1)^2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\dfrac{(k^2+2k-2)}{3}(a+b+c)^2}=3 $$

Tại $ k=0 $ bất đẳng thức cũng hiển nhiên đúng.

Như vậy hiện nay bài toán đang cần giải quyết trong trường hợp $ 0<k<-1+\sqrt{3} $


Topic cũ trước đây nhìn hơi lộn xộn,nên mình lập topic mới này để thảo luận tiếp cho bài toán trên vì hiện nay vẫn chưa tìm được lời giải hoàn chỉnh.Mong các bạn tích cực đóng góp và không được spam ở đây.Xin cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Với mọi $k < 0 $ đều không thoả mãn hả bạn ???
Theo cm trên thì ta chỉ cần $k^2+2k-2 \geq 0 $ thôi mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Snow Bell]

Bạn còn phải xét điều kiện khi ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz nữa chứ.
Ta biến đổi $ \dfrac{a+kb}{a+kc}=\dfrac{(a+kb)^2}{(a+kb)(a+kc)} $ thì khi áp dụng Cauchy Schwarz ta phải có $ (a+kb)(a+kc)>0 $.
Tương tự cho các biểu thức sau.

Tại trường hợp $ k<0 $ mình có thử một số giá trị $ k $ cụ thể và bất đẳng thức không còn đúng nữa.
Chẳng hạn $ k=-2 $,cho $ a=1,b=3,c=4 $ thì bất đẳng thức sai
Hay $ k=-3 $,cho $ a=1.b=4,c=5 $ thì bất đẳng thức cũng sai.
Do đó đã có giá trị $ k<0 $ làm cho bất đẳng thức sai rồi bạn à.Và trong trường hợp này cũng có những giá trị $ a,b,c $ làm cho bất đẳng thức đúng.
Chẳng hạn $ k=-2 $,tại $ a=9,b=4,c=5 $ thì bất đẳng thức đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Trường hợp $k<0 $ chưa xong mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tuannthd]

Đúng là TH $k<0 $ vẫn chưa xong, nhưng mình đã chứng minh được nếu $k \le -1 $ thì BĐT không đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tranminhngoc]

Anh vừa tìm được một khai triển thú vị:
$\sum \frac{a+kc}{a+kb} - 3 = (a-b)^{2}.\frac{k^2}{(ka+c)(kb+c)} + k(a-c)(b-c).\frac{ka-a+kc +k^2b-kb+b}{(a+kb)(b+kc)(c+kb)} $
Em xem có dựa vào nó mà đánh giá hay không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quykhtn]

Nguyên văn bởi Vinh Phuc

Và không dừng tại đó,anh o0soipro0o đã đặt ra câu hỏi: tìm $ k $ để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $ a,b,c \ge 0 $:
$$ \frac{a+kb}{a+kc}+\frac{b+kc}{b+ka}+\frac{c+ka}{c+ kb} \ge 3 $$

Kết quả tổng quát hơn được anh Phạm Kim Hùng giới thiệu trong cuốn Sáng tạo bất đẳng thức cách đây 6 năm và cho tới hiện nay bài toán vẫn chưa được giải.
Cho $ a,b,c,k \ge 0 $.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$ P=\frac{a+kb}{a+kc}+\frac{b+kc}{b+ka}+\frac{c+ka}{ c+kb} $$
Tuy nhiên,sử dụng phương pháp dồn biến toàn miền,mình đã tìm ra kết quả sau:
$$ P \ge \min \left(3;1+\frac{k}{t}+\frac{1}{1+kt}+t \right) $$
Với $ t $ là nghiệm dương của phương trình:
$$ k^2t^4+2kt^3-(k^3+k-1)t^2-2k^2t-k=0 $$
Còn với kết quả sau:
Tìm các giá trị của $ k>0 $ để bất đẳng thức sau đúng:
$$ \frac{a+kb}{a+kc}+\frac{b+kc}{b+ka}+\frac{c+ka}{c+ kb} \ge 3 $$
Trường hợp $ k=0 $ thì bất đẳng thức đúng
Giá trị của $ k $ là:
$$ k \ge \max f(x)= \frac{2x^2-x^3-1+\sqrt{x^6-4x^5+4x^4-2x^3+1}}{2x} $$
Với $ x>0;x^6-4x^5+4x^4-2x^3+1 \ge 0 $
Do $ x $ tìm được là nghiệm của 1 phương trình bậc 10 nên có lẽ rất khó để tìm giá trị cụ thể của $ x;k $
Có thể thấy với $ k=\frac{1}{2}<\sqrt{3}-1 $ thì bất đẳng thức đúng,kết quả này khá quen thuộc:
$$ \frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2b+a}+\frac{2c+a}{2c +b} \ge 3 $$
Tuy nhiên $ k=\frac{1}{2} $ không phải là hằng số tốt nhất, $ k $ nhận giá trị nhỏ hơn.
Mọi người kiểm tra kết quả này xem thế nào?

Nguyên văn bởi o0soipro0o

Anh vừa tìm được một khai triển thú vị:
$\sum \frac{a+kc}{a+kb} - 3 = (a-b)^{2}.\frac{k^2}{(ka+c)(kb+c)} + k(a-c)(b-c).\frac{ka-a+kc +k^2b-kb+b}{(a+kb)(b+kc)(c+kb)} $

Mình chưa kiểm tra kết quả này nhưng nếu đúng thì cái đánh giá của bạn không tìm được giá trị $ k $ tốt nhất vì khi $ k $ đạt giá trị tốt nhất thì đẳng thức xảy ra khi 3 biến lệch nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]