|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
16-10-2013, 10:34 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Toán 1 K46 Chuyên Sư Phạm Bài gởi: 49 Thanks: 19 Thanked 24 Times in 12 Posts | Tìm số dư khi chia cho $p$ Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì. Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$ Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$ ______________________ Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này! |
16-10-2013, 10:53 PM | #2 | |
Administrator | Trích:
Gọi $B=(a+(p-1)^2)(a+(p-2)^2)...(a+(p-\frac{p-1}{2})^2)$ thì anh nghĩ có thể giải dựa theo 2 nhận xét (tương tự định lí Lagrange) thế này: $AB$ là đa thức theo $a$ có dạng $a^{p-1} + k_{p-2}a^{p-2}+k_{p-3}a^{p-3}+...+k_1a+k_0$ có tất cả các hệ số, trừ $k_0, k_{(p-1)/2}$, là đều chia hết cho $p$. Hơn nữa, $A \equiv B \mod{p}$ với mọi $a$ nên chỉ cần tìm theo $a$ số dư của $AB$ khi chia cho $p$ là bao nhiêu. Chú ý rằng theo định lí Wilson thì $(1.2.3...(p-1))^2$ chia $p$ dư 1. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | Akira Vinh HD (01-05-2019), doxuantung97 (17-10-2013) |
17-10-2013, 03:19 AM | #3 | |
Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts | Trích:
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $. Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $. Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $. Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $. Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $. Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $. Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $. thay đổi nội dung bởi: chemthan, 17-10-2013 lúc 02:03 PM | |
The Following 4 Users Say Thank You to chemthan For This Useful Post: | Akira Vinh HD (01-05-2019), Conanvn (24-12-2013), doxuantung97 (17-10-2013), quocbaoct10 (17-10-2013) |
17-10-2013, 08:00 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Bài gởi: 11 Thanks: 8 Thanked 1 Time in 1 Post | Bài Hải Phòng năm nay đáp số đúng phải là 4 thay đổi nội dung bởi: falcaono1, 17-10-2013 lúc 08:04 AM |
17-10-2013, 11:41 AM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | bài Hải Phòng khác bạn à. $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((p-1)^2+1) \equiv (1^2+1)^2(2^2+1)^2\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1)^2 (mod p)$ mà theo kết quả ở trên thì $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1) \equiv 2 (mod p) \Rightarrow (1^2+1)^2(2^2+1)^2\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1)^2 \equiv 4 (mod p)$. Và từ đó có được cái cần tìm. __________________ i'll try my best. thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 17-10-2013 lúc 11:50 AM |
18-10-2013, 12:03 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh Bài gởi: 92 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 9 Posts | Bạn có thể giải thích rõ trường hợp 2 khi a thuộc M được k? ------------------------------ Bạn có thể giải thích rõ hơn trường hợp 2 khi a thuộc M đươc không? thay đổi nội dung bởi: quanghuyhl07, 18-10-2013 lúc 12:05 AM Lý do: Tự động gộp bài |
18-10-2013, 08:45 AM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh Bài gởi: 92 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 9 Posts | Trích:
| |
18-10-2013, 06:01 PM | #8 |
Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts | Trường hợp 2 khi a thuộc M thì bạn để ý rằng: $1 + (1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $a^2 + (a.1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Còn trường hợp 3 có sử dụng định lý lagrange: "Một đa thức nguyên có số nghiệm theo $modp $ lớn hơn bậc của nó thì tất cả các hệ số của nó phải chia hết $p $". |
21-10-2013, 09:24 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2013 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
| |
23-04-2019, 11:45 AM | #10 | |
kakalot Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
| |
03-05-2019, 07:05 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
\[P\left( x \right) = {x^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}} - \prod\limits_{1 \le k \le \frac{{p - 1}}{2}} {\left( {x + {k^2}} \right)} .\]Ta có $p\mid P\left( -k^2 \right) $ với mọi $k\in\left\{1,\,2,\,\ldots ,\,\frac{p-1}{2}\right\}$, và đồng thời $\deg P<\frac{p-1}{2}$, cho nên có\[p\mid P(a),\quad\forall\,a\in\mathbb Z.\]Từ đó số dư của $A$ là số dư của ${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}}$. | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|