Tìm $n \in \mathbb N$ nhỏ nhất

[osp]

Tìm $n \in \mathbb N$ nhỏ nhất thỏa mãn tồn tại hàm $f: \mathbb Z \rightarrow [0;+\infty)$ sao cho:
i)$f$ không là hàm hằng.
ii)$f(xy)=f(x).f(y) \forall x;y \in \mathbb Z$
iii) $2f(x^{2}+y^{2})-f(x)-f(y) \in ${$0;1;2;...;n$} với mọi $x;y$ nguyên.
Với $n$ tìm được hãy tìm tất cả các hàm thỏa mãn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi osp

Tìm $n \in \mathbb N$ nhỏ nhất thỏa mãn tồn tại hàm $f: \mathbb Z \rightarrow [0;+\infty)$ sao cho:
i)$f$ không là hàm hằng.
ii)$f(xy)=f(x).f(y) \forall x;y \in \mathbb Z$
iii) $2f(x^{2}+y^{2})-f(x)-f(y) \in ${$0;1;2;...;n$} với mọi $x;y$ nguyên.
Với $n$ tìm được hãy tìm tất cả các hàm thỏa mãn.

• Nếu $n=0$, khi đó ta có $f(xy)=f(x).f(y)$ và $2f(x^2+y^2)=f(x)+f(y)$ với mọi số nguyên $x,y$. Từ đây dễ có $f$ là hàm hằng, nên $n\geq 1$.

• Khi $n=1$, dễ thấy $f(2k)=0$ và $f(2k+1)=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy số $n$ nhỏ nhất cần tìm là $n=1$.

Còn việc tìm tất cả các $f$ thỏa yêu cầu bài toán với $n=1$, các bạn thử xem.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]