|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
23-11-2010, 07:01 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: 12 Toán - Bến Tre Bài gởi: 221 Thanks: 798 Thanked 128 Times in 64 Posts | 5 bài về dãy số 1)Cho dãy số $(u_n) $ được xác định bởi: $u_1=1 $, $u_2=2 $ và $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n $ với $n=1,2,3... $ Chứng minh: $u_{n+2}+u_{n} \ge 2+\frac{u^2_{n+1}}{u_n} $, với mọi n=1,2... 2)Cho dãy số $(a_n) $ được xác định bởi: $a_0=2 $, $a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60} $ Chứng minh rằng số $\frac{1}{5}(a_{2n}+8) $ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi n=1,2... 3)Cho dãy số $(x_n) $ được xác định bởi: $x_1=7 $, $x_2=50 $ $x_{n+1}=4x_n+5x_{n-1}-1975 $, $n=2,3,4,... $ Chứng minh: $x_{1996} $ chia hết cho $1997 $. 4) Cho dãy số Fibonacci $(u_n) $ Đặt $f(n)=1985n^2+1956n+1960 $ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số hạng $u_n $ của dãy sao cho $f(u_n) $ chia hết cho 1989. 5) Chứng minh rằng dãy số Fibonacci có tính chất: i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j-1}+a_{i+1}a_j $ ii) Với mọi k,n: $a_{kn} $ chia hết cho $a_n $ iii) Hai số hạng liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Dùng các tính chất trên, tìm ước số chung lớn nhất của $u_{1988} $ và $u_{1960} $ ----------------------------------------------------- P/s: Mọi người giải giúp, thời gian hơi bị gấp Thanks ai rep topic này thay đổi nội dung bởi: nhox12764, 23-11-2010 lúc 07:04 PM |
23-11-2010, 08:02 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 20 Thanks: 10 Thanked 6 Times in 5 Posts | Bài 2 và 3 rất quen, bạn có thể tìm đọc lời giải trong cuốn "Tuyển chọn các bài toán hay 45 năm Toán học và Tuổi trẻ" (hình như vậy ) |
The Following User Says Thank You to chicharito For This Useful Post: | nhox12764 (23-11-2010) |
23-11-2010, 09:05 PM | #3 | |
Administrator | Trích:
Trước hết, từ công thức truy hồi của dãy $u_{n+2} + u_n = 3u_{n+1} $, ta chứng minh $u_{n+2}.u_n - u_{n+1}^2 = 1 $ bằng quy nạp. Từ đó suy ra: $u_{n+2} + u_n = \frac{1+u_{n+1}^2}{u_n}+u_n = \frac{1}{u_n} + u_n + \frac{u_{n+1}^2}{u_n} \ge 2+\frac{u_{n+1}^2}{u_n} $. Bài 2 thì từ công thức truy hồi đó, ta đưa về dạng tuyến tính bằng cách bình phương lên như sau: $u_{n+1}^2-8u_{n+1}u_n+u_n^2=-60 $ thay n bởi n+1, ta có: $u_{n+2}^2-8u_{n+2}u_{n+1}+u_{n+1}^2=-60 $ Trừ tương ứng từng vế, ta có: $(u_{n+2}-u_n)(u_{n+2}+u_n-8u_{n+1})=0\Rightarrow u_{n+2}=8u_{n+1}-u_n $ (do đây là dãy tăng nên không thể có $u_{n+2} = u_{n} $) Đến đây, dùng PT sai phân cấp 2 tìm công thức tổng quát của $u_n $ rồi dùng các biến đổi với nhị thức Newton là có đpcm. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | nhox12764 (23-11-2010) |
24-11-2010, 09:52 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: 12 Toán - Bến Tre Bài gởi: 221 Thanks: 798 Thanked 128 Times in 64 Posts | Hic, còn bài 4 với bài 5 sao chưa ai chém vậy? Giúp ngộ với |
27-11-2010, 04:45 AM | #5 | |
Administrator | Trích:
$a_{i+j}=a_ia_{j+1}+a_{i-1}a_j $. (*) Bài này có thể chứng minh bằng quy nạp như sau: i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j+1}+a_{i-1}a_j $. Đặt $k=i+j $, ta có công thức mới là: $a_{k}=a_ia_{k+1-i}+a_{i-1}a_{k-i} $. Ta sẽ minh đẳng thức này đúng với mọi $1 \le i \le k $. -Với $i=1 $, dễ thấy đẳng thức đúng. -Giả sử (*) đúng đến $i $, tức là: $a_{k}=a_ia_{k+1-i}+a_{i-1}a_{k-i} $. Thay $a_{i-1} = a_{i+1}-a_i, a_{k+1-i}=a_{k-i}+a_{k-i-1} $ vào, ta được: $a_{k}=a_{i+1}a_{k-i}+a_{i}a_{k-i-1} $. Do đó, (*) cũng đúng với $i+1 $. Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm. ii) Ta sẽ chứng minh rằng: nếu $a_n \vdots p \Rightarrow a_{kn} \vdots p $. (**) Thật vậy: -Với $k=1 $, (**) đúng. -Giả sử (**) đúng với k. Ta có: $a_{(k+1)n}=a_{(kn+1)}.a_n+a_{kn}.a_{k-1} $ (theo câu i) nên ta thấy rằng (**) cũng đúng với $k+1 $. Theo nguyên lí quy nạp, (**) được chứng minh. Dễ thấy từ (**) ta có thể suy ra ii). __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | nhox12764 (27-11-2010) |
27-11-2010, 03:42 PM | #6 | |
+Thành Viên+ | Trích:
Mà ta lại có $f(u_{-2})=f(-1)=1989 $, chia hết cho 1989. Từ đó suy ra sẽ tồn tại vô số $u_n $ thỏa yêu cầu đề bài. thay đổi nội dung bởi: leviethai, 27-11-2010 lúc 03:45 PM | |
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post: | nhox12764 (27-11-2010) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|