Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-11-2010, 07:01 PM   #1
nhox12764
+Thành Viên+
 
nhox12764's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: 12 Toán - Bến Tre
Bài gởi: 221
Thanks: 798
Thanked 128 Times in 64 Posts
5 bài về dãy số

1)Cho dãy số $(u_n) $ được xác định bởi:
$u_1=1 $, $u_2=2 $ và $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n $ với $n=1,2,3... $
Chứng minh: $u_{n+2}+u_{n} \ge 2+\frac{u^2_{n+1}}{u_n} $, với mọi n=1,2...

2)Cho dãy số $(a_n) $ được xác định bởi:
$a_0=2 $, $a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60} $
Chứng minh rằng số $\frac{1}{5}(a_{2n}+8) $ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi n=1,2...

3)Cho dãy số $(x_n) $ được xác định bởi:
$x_1=7 $, $x_2=50 $
$x_{n+1}=4x_n+5x_{n-1}-1975 $, $n=2,3,4,... $
Chứng minh: $x_{1996} $ chia hết cho $1997 $.

4) Cho dãy số Fibonacci $(u_n) $
Đặt $f(n)=1985n^2+1956n+1960 $
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số hạng $u_n $ của dãy sao cho $f(u_n) $ chia hết cho 1989.

5) Chứng minh rằng dãy số Fibonacci có tính chất:
i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j-1}+a_{i+1}a_j $
ii) Với mọi k,n: $a_{kn} $ chia hết cho $a_n $
iii) Hai số hạng liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Dùng các tính chất trên, tìm ước số chung lớn nhất của $u_{1988} $ và $u_{1960} $
-----------------------------------------------------
P/s: Mọi người giải giúp, thời gian hơi bị gấp Thanks ai rep topic này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nhox12764, 23-11-2010 lúc 07:04 PM
nhox12764 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-11-2010, 08:02 PM   #2
chicharito
+Thành Viên+
 
chicharito's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 20
Thanks: 10
Thanked 6 Times in 5 Posts
Bài 2 và 3 rất quen, bạn có thể tìm đọc lời giải trong cuốn "Tuyển chọn các bài toán hay 45 năm Toán học và Tuổi trẻ" (hình như vậy )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chicharito is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to chicharito For This Useful Post:
nhox12764 (23-11-2010)
Old 23-11-2010, 09:05 PM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi nhox12764 View Post
1)Cho dãy số $(u_n) $ được xác định bởi:
$u_1=1 $, $u_2=2 $ và $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n $ với $n=1,2,3... $
Chứng minh: $u_{n+2}+u_{n} \ge 2+\frac{u^2_{n+1}}{u_n} $, với mọi n=1,2...

2)Cho dãy số $(a_n) $ được xác định bởi:
$a_0=2 $, $a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60} $
Chứng minh rằng số $\frac{1}{5}(a_{2n}+8) $ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi n=1,2...
Bài 1 là đề VMO 1999 bảng B.
Trước hết, từ công thức truy hồi của dãy $u_{n+2} + u_n = 3u_{n+1} $, ta chứng minh $u_{n+2}.u_n - u_{n+1}^2 = 1 $ bằng quy nạp.
Từ đó suy ra:
$u_{n+2} + u_n = \frac{1+u_{n+1}^2}{u_n}+u_n = \frac{1}{u_n} + u_n + \frac{u_{n+1}^2}{u_n} \ge 2+\frac{u_{n+1}^2}{u_n} $.

Bài 2 thì từ công thức truy hồi đó, ta đưa về dạng tuyến tính bằng cách bình phương lên như sau:
$u_{n+1}^2-8u_{n+1}u_n+u_n^2=-60 $
thay n bởi n+1, ta có:
$u_{n+2}^2-8u_{n+2}u_{n+1}+u_{n+1}^2=-60 $
Trừ tương ứng từng vế, ta có:
$(u_{n+2}-u_n)(u_{n+2}+u_n-8u_{n+1})=0\Rightarrow u_{n+2}=8u_{n+1}-u_n $
(do đây là dãy tăng nên không thể có $u_{n+2} = u_{n} $)
Đến đây, dùng PT sai phân cấp 2 tìm công thức tổng quát của $u_n $ rồi dùng các biến đổi với nhị thức Newton là có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
nhox12764 (23-11-2010)
Old 24-11-2010, 09:52 PM   #4
nhox12764
+Thành Viên+
 
nhox12764's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: 12 Toán - Bến Tre
Bài gởi: 221
Thanks: 798
Thanked 128 Times in 64 Posts
Hic, còn bài 4 với bài 5 sao chưa ai chém vậy? Giúp ngộ với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nhox12764 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-11-2010, 04:45 AM   #5
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi nhox12764 View Post
5) Chứng minh rằng dãy số Fibonacci có tính chất:
i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j-1}+a_{i+1}a_j $
ii) Với mọi k,n: $a_{kn} $ chia hết cho $a_n $
iii) Hai số hạng liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Dùng các tính chất trên, tìm ước số chung lớn nhất của $u_{1988} $ và $u_{1960} $
Công thức câu i) chính xác phải là:
$a_{i+j}=a_ia_{j+1}+a_{i-1}a_j $. (*)
Bài này có thể chứng minh bằng quy nạp như sau:
i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j+1}+a_{i-1}a_j $.
Đặt $k=i+j $, ta có công thức mới là:
$a_{k}=a_ia_{k+1-i}+a_{i-1}a_{k-i} $.
Ta sẽ minh đẳng thức này đúng với mọi $1 \le i \le k $.
-Với $i=1 $, dễ thấy đẳng thức đúng.
-Giả sử (*) đúng đến $i $, tức là:
$a_{k}=a_ia_{k+1-i}+a_{i-1}a_{k-i} $.
Thay $a_{i-1} = a_{i+1}-a_i, a_{k+1-i}=a_{k-i}+a_{k-i-1} $ vào, ta được:
$a_{k}=a_{i+1}a_{k-i}+a_{i}a_{k-i-1} $.
Do đó, (*) cũng đúng với $i+1 $.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

ii) Ta sẽ chứng minh rằng: nếu $a_n \vdots p \Rightarrow a_{kn} \vdots p $. (**)
Thật vậy:
-Với $k=1 $, (**) đúng.
-Giả sử (**) đúng với k. Ta có:
$a_{(k+1)n}=a_{(kn+1)}.a_n+a_{kn}.a_{k-1} $ (theo câu i) nên ta thấy rằng (**) cũng đúng với $k+1 $.
Theo nguyên lí quy nạp, (**) được chứng minh.
Dễ thấy từ (**) ta có thể suy ra ii).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
nhox12764 (27-11-2010)
Old 27-11-2010, 03:42 PM   #6
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi nhox12764 View Post
1)Cho dãy số $(u_n) $ được xác định bởi:
$u_1=1 $, $u_2=2 $ và $u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n $ với $n=1,2,3... $
Chứng minh: $u_{n+2}+u_{n} \ge 2+\frac{u^2_{n+1}}{u_n} $, với mọi n=1,2...

2)Cho dãy số $(a_n) $ được xác định bởi:
$a_0=2 $, $a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60} $
Chứng minh rằng số $\frac{1}{5}(a_{2n}+8) $ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi n=1,2...

3)Cho dãy số $(x_n) $ được xác định bởi:
$x_1=7 $, $x_2=50 $
$x_{n+1}=4x_n+5x_{n-1}-1975 $, $n=2,3,4,... $
Chứng minh: $x_{1996} $ chia hết cho $1997 $.

4) Cho dãy số Fibonacci $(u_n) $
Đặt $f(n)=1985n^2+1956n+1960 $
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số hạng $u_n $ của dãy sao cho $f(u_n) $ chia hết cho 1989.

5) Chứng minh rằng dãy số Fibonacci có tính chất:
i) Với mọi i,j: $a_{i+j}=a_ia_{j-1}+a_{i+1}a_j $
ii) Với mọi k,n: $a_{kn} $ chia hết cho $a_n $
iii) Hai số hạng liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Dùng các tính chất trên, tìm ước số chung lớn nhất của $u_{1988} $ và $u_{1960} $
-----------------------------------------------------
P/s: Mọi người giải giúp, thời gian hơi bị gấp Thanks ai rep topic này
Bài 4: Nếu ta gọi thêm các số hạng "đặc biệt" của dãy là $u_{-2}=-1,u_{-1}=1,u_0=0 $. Hãy chứng minh rằng số dư theo modun 1989 trong dãy sẽ tuần hoàn. (Tuần hoàn theo kiểu tuần hoàn một bộ số dư modun 1989 $(a_1,...,a_k) $ (các số $a_i $ có thể giống nhau))
Mà ta lại có $f(u_{-2})=f(-1)=1989 $, chia hết cho 1989. Từ đó suy ra sẽ tồn tại vô số $u_n $ thỏa yêu cầu đề bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: leviethai, 27-11-2010 lúc 03:45 PM
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
nhox12764 (27-11-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:00 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 64.43 k/72.20 k (10.75%)]