Bài toán về ma trận

[123456]

Cho $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp n, xét ma trận mũ $e^{tA} $ được định nghĩa bới
$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!} $
($e^{tA} $ là nghiệm của phương trình vi phân $f'(t)=Af(t); f(0)=I $ với f là hàm nhận giá trị ma trận). Giả sử $e^{tA}=(a_{t,ij}) $, chứng minh rằng:
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $i,j $ và mọi $t\geq 0 $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Bài này mình thấy không đúng lắm:
+ Xét A là ma trận một phần tử x bất kì thì exp(tx) luôn lớn hơn 0 với mọi t.
+ Mở rộng hơn: xét A là ma trận đường chéo thì exp(tA) cũng là ma trận đường chéo với các phần tử (exp(t$a_{ii} $)), tức là các phần tử của exp(tA) luôn không âm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cả hai nhận xét trên của anh đều không mâu thuẫn với kết luận của bài toán của anh 123456
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Ý của mình là có những ma trận có các phần tử âm mà vẫn thỏa mãn, tức là ta không có sự tương đương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Anh đọc kỹ lại cái kết luận xem :

Nguyên văn bởi 123456

... khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $

Ở đây chỉ nói các phần tử "không chéo"
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi 123456

$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $t,i,j $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $

Giả thiết với mọi t được thay bới với mọi $t\geq 0 $. Xin lỗi vì không edit bài được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

OK, sorry, mình đọc đề không kỹ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi 123456

Cho $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp n, xét ma trận mũ $e^{tA} $ được định nghĩa bới
$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!} $
($e^{tA} $ là nghiệm của phương trình vi phân $f'(t)=Af(t); f(0)=I $ với f là hàm nhận giá trị ma trận). Giả sử $e^{tA}=(a_{t,ij}) $, chứng minh rằng:
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $i,j $ và mọi $t\geq 0 $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $

Giả sử $a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $t\geq 0, i,j $, do $a_{0,ij}=\delta_{ij} $, do đó $\frac{d a}{dt}(0,ij)\geq 0 $ với $i\not=j $.
Ngược lại, nếu $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $, đặt $a=\min\{a_{ii}: 1\leq i\leq n\}, B=A-aI $ thì B có các phần tử không âm do đó $e^{tB}, t\geq 0 $ cũng vậy (do định nghĩa), do B và $aI $ giao hoán, do đó $e^{tA}=e^{tB+taI}=e^{ta}e^{tB} $, từ đây suy ra dpcm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[newbie]

Anh giải hay thật , em có nghĩ đến ma trận liên thông nhưng lại không bik kiếm ma trận nào cả @@
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]