Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-04-2013, 10:34 PM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Việt Nam Team Selection Test 2013 - Đề thi, lời giải và danh sách đội tuyển


Kì thi học sinh giỏi quốc gia 2012-2013 vừa qua đã xác định 45 gương mặt đến từ khoảng 30 đơn vị tỉnh thành phố và khối chuyên của các trường ĐH tham dự kì thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2013 tại Santa Marta - Colombia.
Kì thi TST 2013 lần này vẫn tổ chức tại ĐHSP Hà Nội dưới chủ trì của Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng, diễn ra vào hai ngày 5 và 6/04/2013. Kì thi lần này sẽ chọn ra 6-9 thí sinh, sau đó qua một số buổi kiểm tra, tập huấn nữa sẽ chọn ra 6 thành viên chính thức cho đội tuyển IMO.
Sáng mai các bạn thí sinh sẽ có buổi lễ khai mạc và giới thiệu qua về các thông tin và phổ biến các nội dung cần biết về kì thi. Nếu không có gì thay đổi thì vẫn theo cấu trúc: thi trong 2 ngày, mỗi ngày 3 bài giải trong 270 phút.
Có thể nói đây là kì thi chuyên Toán THPT diễn ra ở trong nước có mức độ cao nhất với những bài toán rất hay và khó. Với đề thi VMO 2013 như vừa rồi, hứa hẹn đề TST 2013 lần này sẽ có nhiều bài toán thú vị, hóc búa và thực sự phù hợp cho các cao thủ Toán đến từ mọi miền đất nước.

Topic này để mọi người post đề bài, thảo luận về kì thi này. Đến trưa mỗi ngày thi chắc chắn sẽ có đề bài đầy đủ. Rất mong nhận được sự quan tâm, trao đổi thảo luận của các bạn yêu Toán để có các lời giải phong phú cho các bài toán. Chúc các bạn thí sinh có tâm lí vững vàng, phong độ đỉnh cao để chào đón thử thách lớn này!

Danh sách các học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2013 :


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 33 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
00000 (06-04-2013), 0099 (04-04-2013), anhdunghmd (04-04-2013), blackholes. (04-04-2013), buikhacduong (03-04-2013), butiloveyou (07-04-2013), congbang_dhsp (03-04-2013), dep_kom_n (04-04-2013), divadivo (04-04-2013), dung_toan78 (04-04-2013), hoanghaithanh (09-04-2013), hoangnam94 (04-04-2013), huynhcongbang (03-04-2013), kaka_math (05-04-2013), MathForLife (04-04-2013), n.v.thanh (03-04-2013), nghiepdu-socap (03-04-2013), NhamNgaHanh (04-04-2013), Nostalgia! (05-04-2013), philomath (04-04-2013), pHnAM (04-04-2013), Phudinhgioihan (18-04-2013), ptk_1411 (05-04-2013), qx1234 (25-06-2013), starandsky1995 (05-04-2013), thaygiaocht (04-04-2013), thiendieu96 (05-04-2013), thieu_dhsp (04-04-2013), TNP (05-04-2013), Trànvănđức (04-04-2013), TriệuViếtQuân (06-04-2013), triethuynhmath (04-04-2013), vinhhop.qt (04-04-2013)
Old 05-04-2013, 12:58 PM   #2
NhamNgaHanh
Vọng Phong Nhi Đào
 
NhamNgaHanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 282
Thanks: 85
Thanked 207 Times in 111 Posts
Bạn nào có đề post lên đi. Bài 1: HH, Bài 2: SH, Bài 3: TH.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nhâm Ngã Hành
NhamNgaHanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-04-2013, 01:10 PM   #3
Phongvan34
+Thành Viên+
 
Phongvan34's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 15
Thanks: 16
Thanked 7 Times in 4 Posts
Vừa mới từ nơi thi về. Max là 3 bài
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Phongvan34 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-04-2013, 03:09 PM   #4
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ nhất - 05/04/2013


Bài 1.

Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R)$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB$ cắt các đường thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q.$

1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM), (BMN), (CNP), (DPQ)$ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là $K$.
2/ Đặt $\min \{ AC, BD \} = m $. Chứng minh rằng $OK \le \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$

Bài 2.

1/ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1, 2013t+1$ đều là các số chính phương.
2/ Giả sử $m, n$ là các số nguyên dương sao cho $mn+1, mn+n+1$ đều là các số chính phương. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $8(2m+1)$.

Bài 3.

Với số $n$ nguyên dương, đặt $S = \{0,1, 2, ..., 2n+1 \} $. Xét hàm số $ f : (S \times \mathbb{Z}) \to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i/ $f(x,0)=f(x,2n+1)=0$.
ii/ $f(x-1,y)+f(x+1, y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=1$.
Gọi $F$ là tập hợp tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn.
1/ Chứng minh rằng $|F|$ là vô hạn.
2/ Đặt $v_f$ là tập hợp tất cả các ảnh của $f$. Chứng minh rằng $v_f$ là hữu hạn.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của $v_f$.

----Hết----

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 06-04-2013 lúc 07:05 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 24 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
99 (05-04-2013), bboy114crew (05-04-2013), blackholes. (07-04-2013), butiloveyou (07-04-2013), dduclam (06-04-2013), dvtruc (05-04-2013), hoangcongduc (05-04-2013), hoangnam94 (05-04-2013), lexuanthang (06-04-2013), liverpool29 (06-04-2013), magician_14312 (06-04-2013), navibol (05-04-2013), Nguyen Van Linh (05-04-2013), nguyenhtctb (05-04-2013), NhamNgaHanh (05-04-2013), pHnAM (05-04-2013), ptk_1411 (05-04-2013), quoc_hocpro (21-04-2013), thaygiaocht (05-04-2013), thiendieu96 (05-04-2013), thinhso01 (11-04-2013), trangruabn (28-04-2013), vô tình (05-04-2013), vinhhop.qt (05-04-2013)
Old 05-04-2013, 04:13 PM   #5
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Câu 1.
1/ Các đường tròn đồng quy tại điểm Miquel. Chứng minh dễ dàng bằng biến đổi góc.
2/ Chú ý $K$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng $RS$ với $R$ là giao điểm của $AD,BC$ và $S$ là giao điểm của $AB,CD$.


Câu 2
1/ Đây là một dạng quen thuộc.
Đặt $d=(2012t+1,2013t+1)$ thì $d|2013(2012t+1)-2012(2013t+1)$ nên $d|1$ hay $d=1$.
Do đó $2012t+1,2013t+1$ đều là số chính phương khi và chỉ khi $(2012+1)(2013t+1)=k^2$ với $k \in \mathbb{Z}$.
Đặt $a=2012$, ta xét phương trình $(at+1)((a+1)t+1)=k^2$ thì $4(a(a+1))^2t^2+4a(a+1)(2a+1)t+4a(a+1)=4a(a+1)k^2$ hay
$(2a(a+1)t+(2a+1))^2-4a(a+1)k^2=1$
Dễ thấy $4a(a+1)$ không là số chính phương nên đây là PT Pell loại 1 và có vô số nghiệm.
Tiếp theo lập công thức nghiệm ra và tìm xem ở các chỉ số nào thì nghiệm $x_n \equiv (2a+1) \mod 2a(a+1)$.
Từ đó kết luận.

2/ Thực ra là dạng tổng quát của câu 1. Đặt $d=(mn+1,mn+n+1)$ thì cũng có $d=1$.
Ta quan tâm đến phương trình Pell $x^2-4m(m+1)y^2=1$ với $x = 2m(m+1)n+(2m+1)$ và $y$ là số tự nhiên nào đó.

Nghiệm nhỏ nhất của nó là $(x,y)=(2m+1,1)$ nên công thức nghiệm của phương trình này là:
$x_1 = 1, x_2 = 2m+1, x_{i+2} = 2(2m+1)x_{i+1}-x_i$.
$y_1 = 0, y_2 = 1, y_{i+2} = 2(2m+1)y_{i+1}-y_i$.

Bằng quy nạp, ta chứng minh được với $i$ chẵn thì $x_i$ đồng dư với $2m+1$ theo modulo $2m(m+1)$.
Ta xây dựng công thức truy hồi cho $x_{2i}$.

Ta có
$x_{2i+2} = 2(2m+1)x_{2i+1}-x_{2i}=2(2m+1)(2(2m+1)x_{2i}-x_{2i-1})-x_{2i}$
$= (4(2m+1)^2-1)x_{2i}-2(2m+1)x_{2i-1} = (4(2m+1)^2-2)x_{2i}-x_{2i-2}$

Đặt $p_i = x_{2i}$ thì ta có $p_1 = 2m+1, p_2 = (2m+1)(16m^2+16m+1), p_{i+1}=(4(2m+1)^2-2)p_{i}-p_{i-1}$

Ta có $p_i = 2m(m+1)n_i +(2m+1)$ nên thay vào đẳng thức trên thì:

$2m(m+1)n_{i+1} +(2m+1)=(4(2m+1)^2-2)(2m(m+1)n_i +(2m+1))-(2m(m+1)n_{i-1} +(2m+1))$

Rút gọn, ta được: $n_{i+1} = (4(2m+1)^2-2) n_i -n_{i-1} + 8(2m+1)$.
Chú ý $n_1 = 0, n_2 = 8(2m+1)$ nên suy ra $n_i$ chia hết cho $8(2m+1)$ với mọi $i$.
Từ đó ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 05-04-2013 lúc 04:57 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 9 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
dvtruc (05-04-2013), hoangnam94 (05-04-2013), hphnna (19-04-2013), luugiangnam (12-04-2013), n.v.thanh (05-04-2013), RAIZA (11-06-2013), tangchauphong (05-04-2013), thaygiaocht (05-04-2013), vinhhop.qt (05-04-2013)
Old 05-04-2013, 04:21 PM   #6
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ nhất - 05/04/2013


Bài 1.

Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R)$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB$ cắt các đường thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q.$

1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM), (BMN), (CNP), (DPQ)$ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là $K$.
2/ Đặt $\min \{ AC, BD \} = m $. Chứng minh rằng $OK \le \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$
Up cái hình

Mấu chốt ý a là các tam giác $KAD, KBC, KMP $ đồng dạng.
Ý b chú ý $O, E, K $ thẳng hàng ($K $ là giao $UV $ và $OE $; $O $ là trực tâm tam giác $EUV $).
Bản chất là $max \{d(O,BD), d(O, AC)\} \le OE $ (chú ý $OE.OK=R^2 $).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 05-04-2013 lúc 04:39 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
dvtruc (05-04-2013), huynhcongbang (05-04-2013), n.v.thanh (05-04-2013)
Old 05-04-2013, 08:48 PM   #7
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Nhờ các thầy cô, các bạn học sinh xem lại giúp câu 3 nhé! Mình nghe không rõ là $f: (S \times \mathbb{Z}) \to [0;1]$ hay là $f: (\mathbb{Z} \times S) \to [0;1]$.

Nói chung đề ngày 1 thì câu 1 và 2 không hay lắm.
Bài hình có thể nói là dễ hơn cả đề thi VMO, các kết quả về điểm Miquel cũng như định lí Brocard là quen thuộc (năm 2012 đã có xuất hiện rồi).
Bài 2 thì có một bài toán cũ hơn là: chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2t+1$ và $3t+1$ là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
binladen93 (12-04-2013), n.v.thanh (05-04-2013), thiendieu96 (06-04-2013), Trànvănđức (06-04-2013)
Old 05-04-2013, 09:56 PM   #8
TNP
+Thành Viên+
 
TNP's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: PTNK TPHCM
Bài gởi: 180
Thanks: 487
Thanked 106 Times in 67 Posts
Câu hình học còn có một hướng tiếp cận như sau:
Vì $EM, EP$ là phân giác góc $\widehat{AEB},\widehat{CED}$, nên ta có $\frac{AM}{MB}=\frac{AE}{EB}(1)$ và $\frac{DP}{PC}=\frac{ED}{EC}(2)$
Từ (1), (2) ta suy ra $\frac{AM}{MB}=\frac{DP}{PC}(3)$
Ta lấy $L$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, ta sẽ có $K$ chính là giao điểm của $(LBC),(LAD)$, và từ (3) ta có $K,L,M,P$ đồng viên.
Từ đó ta chỉ cần chứng minh từng tứ giác nội tiếp phù hợp thôi.
Một bài toán có ý tưởng tương tự là Kazakhstan MO 2013 P3 lớp 10:
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Believe in yourself $\Leftrightarrow$ Believe in miracles

thay đổi nội dung bởi: TNP, 05-04-2013 lúc 10:33 PM
TNP is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to TNP For This Useful Post:
huynhcongbang (06-04-2013), n.v.thanh (05-04-2013), quocbaoct10 (21-05-2014)
Old 05-04-2013, 10:30 PM   #9
NhamNgaHanh
Vọng Phong Nhi Đào
 
NhamNgaHanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 282
Thanks: 85
Thanked 207 Times in 111 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Nói chung đề ngày 1 thì câu 1 và 2 không hay lắm.
Bài hình có thể nói là dễ hơn cả đề thi VMO, các kết quả về điểm Miquel cũng như định lí Brocard là quen thuộc (năm 2012 đã có xuất hiện rồi).
Bài 2 thì có một bài toán cũ hơn là: chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2t+1$ và $3t+1$ là số chính phương.
Đề TST mà có đến 3 bài gồm nhiều ý chú nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nhâm Ngã Hành
NhamNgaHanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-04-2013, 10:58 PM   #10
A Good Man
+Thành Viên+
 
A Good Man's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Đến từ: Mù Cang Chải
Bài gởi: 33
Thanks: 34
Thanked 11 Times in 4 Posts
Xin phép được phác thử một số ý cho bài 2b
Đặt $mn+1=x^2$ và $(m+1)n+1=y^2$.
Ta đưa về PT Pell $(m+1)x^2 -my^2=1$ (*) có PT Pell liên kết là $X^2-m(m+1)Y^2=1$ có nghiệm nhỏ nhất $(X,Y)=(2m+1,2)$
Ta CM được dãy nghiệm của PT (*) là:
$x_0=1 , x_1=4m+1, x_{n+1}=(2m+1)x_n - x_{n-1} $,
$y_0=1 , y_1=4m+3, y_{n+1}=(2m+1)y_n - y_{n-1} $.
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được $8(2m+1) | (x^2 -1)$ và $8(2m+1) | (y^2 -1)$ Nên ta có $8(2m+1) | mn$ và $8(2m+1) | (m+1)n$ Suy ra $8(2m+1) | n$
Bài toán được chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: A Good Man, 05-04-2013 lúc 11:01 PM
A Good Man is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to A Good Man For This Useful Post:
binladen93 (12-04-2013), butiloveyou (07-04-2013), huynhcongbang (06-04-2013), n.v.thanh (05-04-2013), thiendieu96 (06-04-2013)
Old 06-04-2013, 02:26 AM   #11
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi NhamNgaHanh View Post
Đề TST mà có đến 3 bài gồm nhiều ý chú nhỉ?
Dạ, em thấy cho như thế thì các bài toán không còn trọn vẹn nữa, thậm chí có vẻ vụn vặt đi. Chẳng hạn câu 2a là một trường hợp riêng của câu 2b, đưa thêm có vẻ hơi thừa. Đây là đề chọn đội tuyển nên cũng không cần câu để kiếm điểm làm gì vì thực ra chắc ai cũng làm được câu này. Ngoài ra, câu b và c của bài 3 nói chung có thể gộp lại để hỏi được.

------------------------------
Bài 3 có vẻ đề như sau sẽ hợp lí hơn.

Bài 3.

Với số $n$ nguyên dương, đặt $S_n = \{1, 2, 3, ..., 2n+1 \} $. Xét hàm số $ f : (\mathbb{Z} \times S_n) \to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i/ $f(x,1)=f(x,2n+1)=0$ với mọi số nguyên $x$.
ii/ $f(x-1,y)+f(x+1, y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=1$ với $x,y \in \mathbb{Z}$ và $2 \le y \le 2n$.
Gọi $F$ là tập hợp tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn.
1/ Chứng minh rằng $|F|$ là vô hạn.
2/ Với mỗi hàm số $f \in F$, đặt $v_f$ là tập hợp tất cả các ảnh của $f$. Chứng minh rằng $|v_f|$ là hữu hạn.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của $|v_f|$.


Để hình dung phần nào bài toán này, mình xin giải trong trường hợp $n=1$.
Ta có tập hợp $S_1= \{1,2,3\}$.
Khi đó, các điều kiện ban đầu trở thành:
i/ $f(x,1)=f(x,3)=0$ với mọi số nguyên $x$.
ii/ $f(x-1,2)+f(x+1, 2)+f(x,1)+f(x,3)=1$ với $x \in \mathbb{Z}$.
Từ ii/ suy ra $f(x-1,2)+f(x+1, 2)=1$ với $x \in \mathbb{Z}$.
Như thế, đặt $f(0,2)=a, f(1,2)=b$ với $a, b \in [0;1]$.
Ta có $f(4k,2)=a,f(4k+2,2)=1-a,f(4k+1)=b,f(4k+3)=1-b$.
Như thế $a,b$ có vô số cách chọn nên $|F|$ vô hạn.
Từ phân tích trên, ta thấy $|v_f| \le 5$ và đẳng thức xảy ra khi $ab(a-1)(b-1)(a-b)(2a-1)(2b-1)(a+b-1) \neq 0$.

Các giá trị $n$ lớn hơn thì tất nhiên điều kiện ii sẽ phức tạp hơn và đòi hỏi phải xử lí một cách nghiêm túc.

Một kết quả cần chú ý là:
Từ ii/ nếu thay $x$ bởi $x+1$ và $y$ bởi $y+1$ thì ta có
$f(x,y+1)+f(x+2, y+1)+f(x+1,y+2)+f(x+1,y)=1$
So sánh với đẳng thức gốc là:
$f(x-1,y)+f(x+1, y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=1$
Ta thấy rằng: $f(x+2,y+1)+f(x+1,y+2)=f(x-1,y)+f(x,y-1)$.
Hơn nữa $(x+2) - (y+1) \equiv (x+1) - (y+2) \equiv (x-1) - y \equiv x - (y-1)$ theo modulo 2 nên các giá trị $f(x,y)$ với $(x,y)$ cùng tính chẵn lẻ và $f(x,y)$ với $(x,y)$ khác tính chẵn lẻ là không có liên hệ gì.

Như thế, có thể cảm nhận được rằng ý 1 và 2 của bài toán này sẽ không phải quá khó. Nếu chịu khó làm thêm với trường hợp $n=2,3$ thì có lẽ sẽ rõ ràng hơn.
Tuy nhiên, ý 3 là một bài cực trị rời rạc không đơn giản, nhất là ở khâu đoán GTLN và xây dựng hàm số.

Dưới đây là đề thi ngày 1 mình đã gõ lại. Mọi người xem thử nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf De VN TST 2013 - Ngay 1.pdf (170.2 KB, 263 lần tải)
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 06-04-2013 lúc 03:20 AM Lý do: Tự động gộp bài
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
batigoal (06-04-2013), dung_toan78 (06-04-2013), Fool's theorem (06-04-2013), hoangnam94 (06-04-2013), n.v.thanh (06-04-2013), thiendieu96 (06-04-2013)
Old 06-04-2013, 02:15 PM   #12
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
Đề ngày 2

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ hai - 06/04/2013


Bài 1.

Tìm số nguyên duơng $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0$ và $ abc=1$
$$ \frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}+\frac k{a+b+c+1} \ge 3+ \frac k{4}. $$

Bài 2.

Cho tam giác $ABC$ không cân, $A=45$ độ, I là trung điểm $BC$, $H$ là trực tâm, $D,E,F$ là chân đường cao hạ từ $A,B,C$. $EF$ giao $BC$ tại $P$, $PH$ giao $IF$ tại $Q$.
a/ Chứng minh $\angle IQH=\angle AIE$.
b/ Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$ và $(J)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DPK$. Đường thẳng $CK$ cắt $(J)$ tại $G$ khác $K$, đường thẳng $GI$ cắt $(J)$ tại $M$ khác $G$, đường thẳng $CJ$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại $N$ khác $C$. Chứng minh bốn điểm $C,G,M,N$ nằm trên một đường tròn.

Bài 3.

Cho một khối lập phương 10X10X10 gồm 1000 ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải 1X1X10 sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa

thay đổi nội dung bởi: dduclam, 06-04-2013 lúc 06:12 PM Lý do: Bo sung cau 3
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to dduclam For This Useful Post:
butiloveyou (07-04-2013), hoang_kkk (06-04-2013), huynhcongbang (20-04-2013), liverpool29 (06-04-2013), thaygiaocht (06-04-2013), thiendieu96 (06-04-2013)
Old 06-04-2013, 02:23 PM   #13
vinhhop.qt
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 86
Thanks: 44
Thanked 70 Times in 34 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi dduclam View Post
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ hai - 06/04/2013


Bài 1.

Tìm số nguyên duơng $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0$ và $ a+b+c=1$
$$ \frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}+\frac k{a+b+c+1} \ge 3+ \frac k{4}. $$
ddlam coi lại giả thiết dùm, chắc không phải $a+b+c=1$ đâu. Thanks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vinhhop.qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 02:32 PM   #14
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
Trích:
Nguyên văn bởi vinhhop.qt View Post
ddlam coi lại giả thiết dùm, chắc không phải $a+b+c=1$ đâu. Thanks.
Chết nhầm, là $abc=1$, mình đã sửa. Thanks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 02:44 PM   #15
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
ĐỀ THI NGÀY 2 CHỌN ĐT DỰ THI IMO NĂM 2013
Bài 4. Tìm hằng số k nguyên dương lớn nhất thỏa mãn: Với mọi a,b,c dương mà abc=1 thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{k}{{a + b + c + 1}} \ge \frac{k}{4} + 3$ $
.
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn không cân có góc BAC bằng 450. Các đường cao AD, BE, CF trực tâm H. Đường thẳng EF cắt đt BC tại P. I là trung điểm của BC; IF cắt PH tại Q.
a) Chứng minh rằng góc IQH=AIE.
b) Gọi K là trực tâm của tam giác AEF; (J) là đường tròn ngoại tiếp tam giác KPD. CK cắt đường tròn (J) tại G; IG cắt (J) tại M; JC cắt đường tròn đường kính BC tại N. Chứng minh rằng G; N; M;C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. Cho một khối lập phương 10X10X10 gồm 1000 ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải 1X1X10 sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DaiToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 14 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post:
butiloveyou (07-04-2013), hoangnam94 (06-04-2013), kynamsp (08-06-2013), lexuanthang (06-04-2013), liverpool29 (06-04-2013), n.v.thanh (06-04-2013), pHnAM (06-04-2013), thaygiaocht (06-04-2013), thiendieu96 (06-04-2013), thieu_dhsp (06-04-2013), TNP (06-04-2013), Trànvănđức (06-04-2013), vinhhop.qt (06-04-2013), vulalach (06-04-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:04 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 131.92 k/148.84 k (11.37%)]