Phương án thêm biến trong giải Phương trình hàm!

**psquang_pbc** · 18-11-2008, 10:56 PM

[Đôi lời muốn nói] Vào những ngày này cách đây 2 năm, forum MathScope.Org đã ra đời. Từ thời điểm đó, chúng ta đã có thêm một nơi để giao lưu, học tập, giải trí. Nhân đây, mình có một bài viết, trước là chúc mừng ngày 20/11 các thầy, cô trên diễn đàn, đặc biệt là 2 admin của chúng ta và những người sẽ trở thành thầy cô trong thời gian tới, sau là để chúc mừng sinh nhật diễn đàn.

Phương án thêm biến trong giải phương trình hàm.

Trong giải phương trình hàm, những phản xạ đầu tiên của chúng ta là thế các giá trị đặc biệt. Đó là những điều cần thiết, tuy nhiên trong trường hợp miền giá trị bị hạn chế hoặc việc thế dẫn đến việc luẩn quẩn thì đó là điều không mang nhiều ý nghĩa. Bài viết nhỏ này sẽ giúp chúng ta có những cách xử lý hiệu quả hơn.

Về phương pháp thì rất đơn giản, đầu tiên xem xét dạng bài, tìm cách thêm thích hợp. Ví dụ thay biến $y $ bằng $x+z, xz $,... rồi hoặc chọn $z $ thích hợp hoặc xét các đẳng thức tương tự, đối chiếu với nhau và đưa ra các đẳng thức cần thiết. Ta xét một vài ví dụ:

1. Tìm mọi hàm số f: (1,$+\infty $)$\to $(1,$+\infty $) thỏa mãn:

$f(x)-f(y)=(y-x).f(xy) $

Giải. Điều đầu tiên chúng ta phải để ý đến vế phải, nơi đó có nhân tử $y-x $. Vậy ta thêm biến $z $ như sau:

$(y-x).f(xy)=f(x)-f(z)+f(z)-f(y) $

Hay

$(y-x).f(xy)=(z-x).f(xz)+(y-z).f(yz) $

Đặt $xy=a, yz=b, zx=c $. Khi đó, đẳng thức trên được viết lại dưới dạng

$(\frac{1}{xz}-\frac{1}{yz}).f(xy)=(\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}).f(xz)+(\frac{1}{xz}-\frac{1}{xy}).f(yz) $

Hay

$(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}).f(a)=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}).f(c)+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a}).f(b) $

Cố định $a,b $ và cho $c $ chạy ta có $f(c)=\frac{u}{c}+v $. Thay lại phương trình ta có $v=0 $. Như vậy $f(x)=\frac{u}{x}. $

2. Cho $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} $ thỏa mãn $f(f(x,y),z)=x+y+z $. Chứng minh rằng $f(x,y)=x+y $.

Giải. Ta có

$f(f(f(x,y),z),t)=f(x+y+z,t) $

Suy ra $f(x+y)+z+t=f(x+y+z,t) $. Cho $x=y=0 $, ta có $f(z,t)=f(0,0)+z+t $. Thay ngược trở lại ta có $f(0,0)=0 $. Điều phải chứng minh.

Một số bài toán áp dụng.

1. Tìm mọi $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q} $ thỏa mãn

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1, \forall x,y\in\mathbb{Q}. $

2. Tìm mọi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ thỏa mãn

$f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}, \forall x\not= y\in\mathbb{R}. $

3. Tìm mọi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ thỏa mãn

$f(\frac{x^2+y^2}{2xy})=\frac{f^2(x)+f^2(y)}{2.f(x) .f(y)}, \forall x, y\in\mathbb{R} $ và $f(0)=0 $.

4. Tìm mọi $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn

$f(x+y)=f(y).f(xf(y)), \forall x, y\in\mathbb{R}^+. $

Always will be!

Member_Of_AMC · 19-11-2008, 09:50 AM

Trích:

Nguyên văn bởi psquang_pbc

[COLOR="Green"]Cố định $a,b $ và cho $c $ chạy ta có $f(c)=\frac{u}{c}+v $. Thay lại phương trình ta có $v=0 $. Như vậy $f(x)=\frac{u}{c}. $

$f(x)=\frac{u}{x} $ chứ nhỉ.
Cho mình hỏi: có dấu hiệu khi nào thì xài cách này là tốt nhất ko?
Bài viết rất hay (dù thiếu khá nhiều dấu ngoặc:hornytoro

. Cám ơn.
Chúc các thầy, cô 20/11 vui vẻ và luôn hạnh phúc.
p/s: lâu quá không thấy anh Tuân lên nhỉ?

glis · 19-11-2008, 03:11 PM

Anh có kinh nghiệm và tài liệu về vấn đề này thì share cho mọi người cùng học hỏi nhé

**psquang_pbc** · 19-11-2008, 05:32 PM

Mình cũng kô rõ chỗ nào có viết cả, nhưng cơ bản pp chỉ có vậy thôi. Bài tập mọi người giải làm quen là được. Nếu có mắc mớ bài nào thì pm cho mình. Mình sẵn sàng giải đáp nếu có thể.

**psquang_pbc** · 23-11-2008, 02:06 PM

Tiếp theo mình update thêm ví dụ cho mọi người làm quen thêm.

Ví dụ 3. Tìm mọi hàm số $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn

$f(x).f(y)=2.f(x+yf(x)). $

[ IMO Shortlist ? ]

Giải. Thêm biến theo ý tưởng tự nhiên, ta có

$f(x).f(y).f(z)=2.f(z).f(x+y.f(x)) $
$=2.f(z+(x+y.f(x)).f(z)) $
$=2.f(z+x.f(z)+2y.f(z+x.f(z))) $
$=2.f(2y).f(z+x.f(z)) $
$=f(2y).f(x).f(z) $

Do đó $f(y)=f(2y) $ với mọi $y $.

Nếu tồn tại $x_1>x_2 $ mà $f(x_1)<f(x_2) $ ta chọn $y=\frac{x_1-x_2}{f(x_2)-f(x_1)} $ thì ta có $f(y).f(x_1)=f(y).f(x_2), $vô lý. Vậy $f(x)\ge f(y) $ với mọi $x\ge y $. Kết hợp với đẳng thức phía trên ta có $f(x) $ là hằng số. Thử lại ta có $f(x)=2,\forall x\in\mathbb{R}^+ $.

Talent · 23-11-2008, 04:54 PM

Cách giải đầu có vẻ không ổn cho lắm . Từ phép đặt $xy=a,yz=b,zx=c $ ta suy ra $z=sqrt{\frac{bc}{a}},x=\sqrt{\frac{ac}{b}},y=\sqrt {\frac{ab}{c}} $
Tuy nhiên cách giải đúng khi mà hàm từ $(0,+\infty) $ ,phép đặt này ko đảm bảo $x,y,z>1 $ với mọi a,b,c . Phép cố định a,b và cho c chạy chỉ đúng trên khoảng nào đó không phải trên toàn đoạn đang xét .
Phép thêm biến và đổi biến phải đảm bảo song ánh trong tập đang xét .
Không biết bài này có liên quan không ,cứ đưa vậy : [Only registered and activated users can see links. ]

duca1pbc · 23-11-2008, 07:26 PM

1 bài thêm biến dạng nhẹ

$f: R^+ \rightarrow R^+ $
$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y) $

Ta có:
$f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+f(z))+f(y+f(z)) $
$=f(x+y+z)+f(z)+f(y+z)+f(z) (1) $
Mặt #,
$f(x+f(y+f(z)))=f(x+f(y+z)+f(z)) $
$=f(x+f(y+z)+z)+f(z)=f(x+y+2z)+f(y+z)+f(z) (2) $
Từ (1) và (2) $\rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y) \forall x,y $

f(x) cộng tính cộng với $f(x)> 0 \forall x>0 \rightarrow f(x)=ax \forall x>0 $
Thử lại: $f(x)=2x $

p/s: bài này $R \rightarrow R $ có đúng ko nhỉ

Talent · 23-11-2008, 11:09 PM

Cái đoạn $f(x+y)=f(x)+f(y) $ chỉ đúng khi x khác y thôi . Nếu thế thì mình chưa hiểu bạn định cm tiếp như thế nào ?

duca1pbc · 23-11-2008, 11:33 PM

$f(x) $cộng tính+ $f(x)>0 \forall x>0 \rightarrow f(x)>f(y) \forall x>y>0 $
Còn gì nữa

Talent · 23-11-2008, 11:40 PM

Trích:

Nguyên văn bởi duca1pbc

$f(x) $cộng tính+ $f(x)>0 \forall x>0 \rightarrow f(x)>f(y) \forall x>y>0 $
Còn gì nữa

Không anh bạn suy ra $f(x+y+2z)=f(x+y+z)+f(z) $
Phép thể $a=x+y+z,b=z $ thì có đk $a>b $

duca1pbc · 24-11-2008, 05:22 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Talent

Không anh bạn suy ra $f(x+y+2z)=f(x+y+z)+f(z) $
Phép thể $a=x+y+z,b=z $ thì có đk $a>b $

Trong fép chứng minh f cộng tính và đơn điệu tăng ko cần có phép thế x=y.Nên với như thế cũng cho ta kết quả rồi

**Quân -k47DHV** · 24-11-2008, 05:46 PM

Trích:

Nguyên văn bởi duca1pbc

Trong fép chứng minh f cộng tính và đơn điệu tăng ko cần có phép thế x=y.Nên với như thế cũng cho ta kết quả rồi

Có lẽ đức chưa hiểu ý của Talent.$ f $cộng tính khi $x $khác $y $ mà như thế thì Đức làm tiếp như thế nào?

duca1pbc · 24-11-2008, 06:34 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Quân -k47DHV

Có lẽ đức chưa hiểu ý của Talent.$ f $cộng tính khi $x $khác $y $ mà như thế thì Đức làm tiếp như thế nào?

Thôi đc.

Nói cụ thể là thế này
$f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x \neq y >0 $
$f(x) $ tăng thực sự trên $R^+ $
Với điều kiện này cũng đủ để có $f(x)=ax $
ok?

**Quân -k47DHV** · 25-11-2008, 05:33 PM

Trích:

Nguyên văn bởi duca1pbc

$f(x) $ tăng thực sự trên $R^+ $

Thế Đức so sánh$ f(2x) $và $f(x) $ thử xem.

duca1pbc · 25-11-2008, 07:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Quân -k47DHV

Thế Đức so sánh$ f(2x) $và $f(x) $ thử xem.

$\forall x \in R^+ \ni \epsilon > 0,x>\epsilon $
$\rightarrow f(2x)=f(x+\epsilon)+f(x-\epsilon)>f(x+\epsilon)>f(x) $

18-11-2008, 10:56 PM	#1
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Phương án thêm biến trong giải Phương trình hàm! [Đôi lời muốn nói] Vào những ngày này cách đây 2 năm, forum MathScope.Org đã ra đời. Từ thời điểm đó, chúng ta đã có thêm một nơi để giao lưu, học tập, giải trí. Nhân đây, mình có một bài viết, trước là chúc mừng ngày 20/11 các thầy, cô trên diễn đàn, đặc biệt là 2 admin của chúng ta và những người sẽ trở thành thầy cô trong thời gian tới, sau là để chúc mừng sinh nhật diễn đàn. Phương án thêm biến trong giải phương trình hàm. Trong giải phương trình hàm, những phản xạ đầu tiên của chúng ta là thế các giá trị đặc biệt. Đó là những điều cần thiết, tuy nhiên trong trường hợp miền giá trị bị hạn chế hoặc việc thế dẫn đến việc luẩn quẩn thì đó là điều không mang nhiều ý nghĩa. Bài viết nhỏ này sẽ giúp chúng ta có những cách xử lý hiệu quả hơn. Về phương pháp thì rất đơn giản, đầu tiên xem xét dạng bài, tìm cách thêm thích hợp. Ví dụ thay biến $y $ bằng $x+z, xz $,... rồi hoặc chọn $z $ thích hợp hoặc xét các đẳng thức tương tự, đối chiếu với nhau và đưa ra các đẳng thức cần thiết. Ta xét một vài ví dụ: 1. Tìm mọi hàm số f: (1,$+\infty $)$\to $(1,$+\infty $) thỏa mãn: $f(x)-f(y)=(y-x).f(xy) $ Giải. Điều đầu tiên chúng ta phải để ý đến vế phải, nơi đó có nhân tử $y-x $. Vậy ta thêm biến $z $ như sau: $(y-x).f(xy)=f(x)-f(z)+f(z)-f(y) $ Hay $(y-x).f(xy)=(z-x).f(xz)+(y-z).f(yz) $ Đặt $xy=a, yz=b, zx=c $. Khi đó, đẳng thức trên được viết lại dưới dạng $(\frac{1}{xz}-\frac{1}{yz}).f(xy)=(\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}).f(xz)+(\frac{1}{xz}-\frac{1}{xy}).f(yz) $ Hay $(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}).f(a)=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}).f(c)+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a}).f(b) $ Cố định $a,b $ và cho $c $ chạy ta có $f(c)=\frac{u}{c}+v $. Thay lại phương trình ta có $v=0 $. Như vậy $f(x)=\frac{u}{x}. $ 2. Cho $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} $ thỏa mãn $f(f(x,y),z)=x+y+z $. Chứng minh rằng $f(x,y)=x+y $. Giải. Ta có $f(f(f(x,y),z),t)=f(x+y+z,t) $ Suy ra $f(x+y)+z+t=f(x+y+z,t) $. Cho $x=y=0 $, ta có $f(z,t)=f(0,0)+z+t $. Thay ngược trở lại ta có $f(0,0)=0 $. Điều phải chứng minh. Một số bài toán áp dụng. 1. Tìm mọi $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q} $ thỏa mãn $f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1, \forall x,y\in\mathbb{Q}. $ 2. Tìm mọi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ thỏa mãn $f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}, \forall x\not= y\in\mathbb{R}. $ 3. Tìm mọi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ thỏa mãn $f(\frac{x^2+y^2}{2xy})=\frac{f^2(x)+f^2(y)}{2.f(x) .f(y)}, \forall x, y\in\mathbb{R} $ và $f(0)=0 $. 4. Tìm mọi $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn $f(x+y)=f(y).f(xf(y)), \forall x, y\in\mathbb{R}^+. $ Always will be! __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain! thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 19-11-2008 lúc 10:39 AM

19-11-2008, 05:32 PM	#4
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Mình cũng kô rõ chỗ nào có viết cả, nhưng cơ bản pp chỉ có vậy thôi. Bài tập mọi người giải làm quen là được. Nếu có mắc mớ bài nào thì pm cho mình. Mình sẵn sàng giải đáp nếu có thể. __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

23-11-2008, 02:06 PM	#5
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Tiếp theo mình update thêm ví dụ cho mọi người làm quen thêm. Ví dụ 3. Tìm mọi hàm số $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn $f(x).f(y)=2.f(x+yf(x)). $ [ IMO Shortlist ? ] Giải. Thêm biến theo ý tưởng tự nhiên, ta có $f(x).f(y).f(z)=2.f(z).f(x+y.f(x)) $ $=2.f(z+(x+y.f(x)).f(z)) $ $=2.f(z+x.f(z)+2y.f(z+x.f(z))) $ $=2.f(2y).f(z+x.f(z)) $ $=f(2y).f(x).f(z) $ Do đó $f(y)=f(2y) $ với mọi $y $. Nếu tồn tại $x_1>x_2 $ mà $f(x_1)<f(x_2) $ ta chọn $y=\frac{x_1-x_2}{f(x_2)-f(x_1)} $ thì ta có $f(y).f(x_1)=f(y).f(x_2), $vô lý. Vậy $f(x)\ge f(y) $ với mọi $x\ge y $. Kết hợp với đẳng thức phía trên ta có $f(x) $ là hằng số. Thử lại ta có $f(x)=2,\forall x\in\mathbb{R}^+ $. __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain! thay đổi nội dung bởi: conan236, 11-12-2008 lúc 02:00 PM

23-11-2008, 04:54 PM	#6
Talent +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 287 Thanks: 16 Thanked 90 Times in 61 Posts	Cách giải đầu có vẻ không ổn cho lắm . Từ phép đặt $xy=a,yz=b,zx=c $ ta suy ra $z=sqrt{\frac{bc}{a}},x=\sqrt{\frac{ac}{b}},y=\sqrt {\frac{ab}{c}} $ Tuy nhiên cách giải đúng khi mà hàm từ $(0,+\infty) $ ,phép đặt này ko đảm bảo $x,y,z>1 $ với mọi a,b,c . Phép cố định a,b và cho c chạy chỉ đúng trên khoảng nào đó không phải trên toàn đoạn đang xét . Phép thêm biến và đổi biến phải đảm bảo song ánh trong tập đang xét . Không biết bài này có liên quan không ,cứ đưa vậy : [Only registered and activated users can see links. ] __________________ Prime thay đổi nội dung bởi: Talent, 23-11-2008 lúc 04:59 PM

23-11-2008, 11:09 PM	#8
Talent +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 287 Thanks: 16 Thanked 90 Times in 61 Posts	Cái đoạn $f(x+y)=f(x)+f(y) $ chỉ đúng khi x khác y thôi . Nếu thế thì mình chưa hiểu bạn định cm tiếp như thế nào ? __________________ Prime

19-11-2008, 03:11 PM	#3
glis +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 51 Thanks: 4 Thanked 4 Times in 3 Posts	Anh có kinh nghiệm và tài liệu về vấn đề này thì share cho mọi người cùng học hỏi nhé

23-11-2008, 07:26 PM	#7
duca1pbc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 139 Thanks: 3 Thanked 8 Times in 7 Posts	1 bài thêm biến dạng nhẹ $f: R^+ \rightarrow R^+ $ $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y) $ Ta có: $f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+f(z))+f(y+f(z)) $ $=f(x+y+z)+f(z)+f(y+z)+f(z) (1) $ Mặt #, $f(x+f(y+f(z)))=f(x+f(y+z)+f(z)) $ $=f(x+f(y+z)+z)+f(z)=f(x+y+2z)+f(y+z)+f(z) (2) $ Từ (1) và (2) $\rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y) \forall x,y $ f(x) cộng tính cộng với $f(x)> 0 \forall x>0 \rightarrow f(x)=ax \forall x>0 $ Thử lại: $f(x)=2x $ p/s: bài này $R \rightarrow R $ có đúng ko nhỉ

23-11-2008, 11:33 PM	#9
duca1pbc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 139 Thanks: 3 Thanked 8 Times in 7 Posts	$f(x) $cộng tính+ $f(x)>0 \forall x>0 \rightarrow f(x)>f(y) \forall x>y>0 $ Còn gì nữa