Ma trận đồng dạng

[portgas_d_ace]

Chứng minh rằng nếu $A$ là một ma trận cấp 2 hệ số phức thì $A$ đồng dạng trên $\mathbb{C}$ với một ma trận thuộc một trong hai dạng sau
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&0 \\
0&b
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&0 \\
1&a
\end{array}} \right)\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Chứng minh rằng nếu $A$ là một ma trận cấp 2 hệ số phức thì $A$ đồng dạng trên $\mathbb{C}$ với một ma trận thuộc một trong hai dạng sau
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&0 \\
0&b
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&0 \\
1&a
\end{array}} \right)\]

Nếu $A$ chéo hóa được thì $A$ tương đương với dạng đầu tiên.

Nếu $A$ không chéo hóa được, khi đó đa thức đặc trưng của $A$ có dạng $(x-a)^2$ với $a$ là số phức nào đó. Chọn $e_1$ là 1 vector riêng của $A$, và $e_2$ là vector độc lập tuyến tính với $e_1$, khi đó $Ae_2 = b e_1 + c e_2$. Ta có $b\not=0$ và $c =a$ vì nếu 1 trong hai điều này không xảy ra thì $A$ chéo hóa được. Chọn $e'_2 = e_2/b$, khi đó ma trận $A$ trong cơ sở $e_1, e'_2$ có dạng thứ hai.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Em chưa hiểu là tại sao nếu $c \neq a$ thì $A$ lại chéo hóa đc ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Em chưa hiểu là tại sao nếu $c \neq a$ thì $A$ lại chéo hóa đc ạ

Ta có thể chỉ ra trực tiếp $c=a$ như sau: Ma trận của $A$ trong cơ sở $e_2,e_1$ là $\begin{pmatrix} c & 0 \\ b & a \end{pmatrix}$. Khi đó thì $c+a = \mathrm{tr}(A) = 2a$ nên $c=a$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Em chưa hiểu là tại sao nếu $c \neq a$ thì $A$ lại chéo hóa đc ạ

Nếu $c\not=a$ thì đa thức đặc trưng của $A$ có hai nghiệm phân biệt nên $A$ chéo hóa được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]