|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
15-12-2007, 10:08 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | Tặng chú Tchoupi Đáp ứng yêu cầu của chú, anh mời chú xơi bài này nhưng nói trước bài này không dễ (mặc dù nó đã lâu đời) không chú bảo anh chơi khó chú, he he Bài toán. Cho $\mu_1,\mu_2 $ là hai độ đo dương, kép trên $\mathbb R^n $. Hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ gọi là "anh em một nhà" nếu như tồn tại hằng số $c>0 $ thỏa mãn với mọi hình cầu $B $ trong $\mathbb R^n $, và với mọi tập con đo được $E $ của $B $ ta có $\frac{\mu_2(E)}{\mu_2(B)}\leq C\Big(\frac{\mu_1(E)}{\mu_1(B)}\Big)^{2} $. Chứng minh rằng hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ là "anh em một nhà" nếu và chỉ nếu $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1(x) $ ở đó $\omega $ thỏa mãn $\int_B\big(\omega(x)\big)^3d\mu_1(x)\leq \frac{c^3}{\mu_1(B)^2}\Big(\int_B\omega(x)d\mu_1(x )\Big)^3 $ với mọi cầu $B $. thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 16-12-2007 lúc 12:27 AM |
15-12-2007, 10:28 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | đề của anh chuẩn chưa ạ ? bất đẳng thức cuối cùng em thấy lệch bậc ? |
16-12-2007, 12:28 AM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | đánh nhầm đề, đã sửa lại rồi đấy! |
16-12-2007, 06:35 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | Chiều thuận thì em làm được rồi nhưng chiều đảo thì chịu. Chiều thuận dùng định lý Radon-Nikodym để chứng minh tồn tại hàm $\omega $như trên, còn bất đẳng thức thì dùng định nghĩa tích phân Lebesgue thôi, xấp xỉ $\omega $ thành hàm đơn giản. Nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải, hoặc tốt hơn thì là sách giải |
16-12-2007, 08:06 PM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | Anh cá nếu chiều thuận chỉ có thế này thì chú chưa làm ra được, thử viết kĩ ra xem nào :secretsmile: |
16-12-2007, 09:02 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | Thế anh kiểm tra thử nhé ($\Rightarrow $) Theo đ/l Radon-Nikodym thì tồn hàm $\omega $ thỏa mãn $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1 $ (theo bất đẳng thức ở đề bài thì $\mu_2 $ liên tục tuyệt đối với $\mu_1 $) $0\leq s\leq \omega $ trên $B $ là hàm đơn giản . $s=\sum c_n \chi_{A_n} $ $\{A_n\} $ là một phân hoạch hữu hạn của $B $ $\int_B s^2d\mu_2 \to \int_B w^3d\mu_1 $ $\int_B s^2d\mu_2 = \sum c_n^2\frac{\mu_2(A_n)}{\mu_2(B)}\mu_2(B) $ $\leq c\sum\left(\frac{\mu_1(A_n)}{\mu_1(B)}\right)^2 \mu_2(B) $ $\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $ $= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $ $\leq c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải |
The Following User Says Thank You to Tchoupi For This Useful Post: | dep_kom_n (01-03-2013) |
16-12-2007, 10:45 PM | #7 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | Trích:
PS: chú nếu cần anh đưa ra gợi ý hướng giải chứ cái này cho chú tìm thoải mái trong mấy cuốn độ đo kinh điển, chắc không có đâu . Mang bài trong sách ra đố không phải sở thích của anh. | |
18-12-2007, 08:20 AM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | $\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $ $= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $ $\leq c\left(\int_B\omega d\mu_1\right)^2\frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $ $= c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải Em nói ở trên rồi mà , nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải còn gì |
18-12-2007, 10:09 AM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 23 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | À, chỗ cuối phải giải thích thêm là c\geq 1 , do điều kiện của chiều thuận |
18-12-2007, 11:10 AM | #10 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | không ngờ phần này dễ như vậy, chú cố nốt phần còn lại nhá . |
Bookmarks |
|
|