Cần giúp 2 bài tính khoảng cách

[Conan Edogawa]

1. Cho hình vuông $ABCD $ và tam giác đều $SAD $ cạnh $a $ nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA $ và $BD $

2. Cho tứ diện $OABC $ trong đó $ OA, OB, OC $ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a $. Gọi I là trung điểm BC. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của $AI $ và $OC $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Bài 1 phang tọa độ cho nó lành
bài 2: (bắt dựng đường vuông góc nên ko làm tọa độ đc)
gọi M là trung điểm OB, trong mp(AOB) dựng $OH\perp AM $ thì OH là đoạn vuông góc chung cần dựng
CM:
$\left\{\begin{matrix} MI//OC \Rightarrow MI\perp (AOB)\Rightarrow MI\perp OH\\ AM\perp OH \end{matrix}\right. \Rightarrow OH\perp AI $
mặt khác, dễ thấy $OH\perp OC $ nên suy ra OH là đoạn vuông góc chung cần dựng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

Nguyên văn bởi novae

Bài 1 phang tọa độ cho nó lành

Mình mới học đầu 12 nên chưa cho dùng tọa độ. Bạn có cách lớp 11 ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Cách lớp 11 cho bài 1:
qua A dựng đường thẳng song song với BD, cắt CB, CD tại P, Q
khi đó $d(BD;SA)=d(BD;(SPQ))=d(D;(SPQ)) $
trong mp(SAD), dựng đường thẳng qua D vuông góc với AD, cắt SA tại M, khi đó $DM\perp (ABCD) $
ta tính $d(D;(SPQ)) $ bằng cách sử dụng công thức đường cao trong tứ diện vuông DAMQ

nghĩ mấy ngày mới ra, quen dùng tọa độ rồi, mình cũng mới học đầu 12, dùng tọa độ toàn bị cô giáo mắng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi novae

Bài 1 phang tọa độ cho nó lành
bài 2: (bắt dựng đường vuông góc nên ko làm tọa độ đc)
gọi M là trung điểm OB, trong mp(AOB) dựng $OH\perp AM $ thì OH là đoạn vuông góc chung cần dựng
CM:
$\left\{\begin{matrix} MI//OC \Rightarrow MI\perp (AOB)\Rightarrow MI\perp OH\\ AM\perp OH \end{matrix}\right. \Rightarrow OH\perp AI $
mặt khác, dễ thấy $OH\perp OC $ nên suy ra OH là đoạn vuông góc chung cần dựng

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đoạn thẳng có hai đầu mút lần lượt nằm trên mỗi đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó mà. Đoạn OH bạn novae dựng đúng là vuông với cả hai đường thẳng thật nhưng chưa cắt cả hai đường nên nó chưa phải là đường vuông góc chung cần dựng.
Dưới đây xin nêu một phương pháp tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng như sau:
Giả sử MN là đoạn vuông góc chung cần tìm. Dễ thấy đó cũng chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì thuộc OC và AI nên hai điểm M, N phải thuộc hai đoạn vừa nêu.

Đặt $IM=x, AN=y, 0 \le x \le a.\frac{\sqrt{6}}{2}, 0\le y \le a $.
Gọi H là hình chiếu của M lên (OBC) thì tam giác MNH vuông tại H. Ta sẽ tính MN theo x, y và a.
Ta tính được: $AI=a.\frac{\sqrt{2}}{2}, AI=a.\frac{\sqrt{6}}{2} $, suy ra:
$HM=x.\sqrt{\frac{2}{3}}, IH=x.\sqrt{\frac{1}{3}}, OH=a.\frac{\sqrt{2}}{2}-x.\sqrt{\frac{1}{3}} $.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AHN, ta được:
$NH^2=OH^2+ON^2-OH.ON.\sqrt{2}=(a.\frac{\sqrt{2}}{2}-x.\sqrt{\frac{1}{3}})^2+y^2-(a.\frac{\sqrt{2}}{2}-x.\sqrt{\frac{1}{3}})y.\sqrt{2} $.
Do đó:
$MN^2=MH^2+HN^2=y^2-(a-x.\sqrt{\frac{2}{3}})y+(a.\frac{\sqrt{2}}{2}-x.\sqrt{\frac{1}{3}})^2+\frac{2}{3}x^2 $
Đây là hàm số bậc hai biến y nên đạt giá trị nhỏ nhất khi $y=\frac{(a-x.\sqrt{\frac{2}{3}})}{2} $.
Khi đó:
$MN^2=\frac{-(a-x.\sqrt{\frac{2}{3}})^2}{4}+(a.\frac{\sqrt{2}}{2}-x.\sqrt{\frac{1}{3}})^2+\frac{2}{3}x^2=\\=\frac{a^ 2}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{2ax}{\sqrt{6}}+\frac{2}{3}x^2-\frac{a^2}{4}-\frac{x^2}{6}+\frac{ax}{\sqrt{6}}=x^2-\frac{ax}{\sqrt{6}}+\frac{a^2}{4}=\\=(x-\frac{a}{2\sqrt{6}})^2+\frac{a^2}{12}\ge \frac{a^2}{12} $.
Đến đây suy ra đoạn vuông góc chung MN phải có độ dài là $\frac{a}{2\sqrt{3}} $.
Điều này đạt được khi và chỉ khi
$x=\frac{a}{2\sqrt{3}},y=\frac{(a-x.\sqrt{\frac{2}{3}})}{2}=\frac{a}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{12} $.
Từ đó suy ra vị trí M, N.
Rõ ràng các điểm M, N như trên không dễ gì đoán được bằng cách dựng hình thông thường. Việc đại số hóa này vừa tìm được vị trí của M, N vừa tìm được chính xác độ dài của MN.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi novae

Cách lớp 11 cho bài 1:
qua A dựng đường thẳng song song với BD, cắt CB, CD tại P, Q
khi đó $d(BD;SA)=d(BD;(SPQ))=d(D;(SPQ)) $
trong mp(SAD), dựng đường thẳng qua D vuông góc với AD, cắt SA tại M, khi đó $DM\perp (ABCD) $
ta tính $d(D;(SPQ)) $ bằng cách sử dụng công thức đường cao trong tứ diện vuông DAMQ

nghĩ mấy ngày mới ra, quen dùng tọa độ rồi, mình cũng mới học đầu 12, dùng tọa độ toàn bị cô giáo mắng

Bài này thuộc dạng dựng đường vuông góc quen thuộc và cách "dựng hình bình hành" của bạn novae vậy là đúng rồi. Tuy nhiên, ta có thể tìm được khoảng cách đó bằng cách ngắn hơn 1 chút.



Gọi M là trung điểm AD. Qua A dựng AE // BD (E thuộc tia CD). Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng BD, AE và cắt hai đường này lần lượt tại K và H.
Dễ thấy SM vuông góc với (ABCD) nên SM vuông góc với BD, mà MK vuông góc với BD nên BD vuông góc với (SHK), suy ra: SK vuông góc với BD.
Tương tự SH vuông góc với AE. Do đó: (SHK) vuông góc với cả hai mặt phẳng (SAE) và (SBD).
Hơn nữa: $d(SA,BD)=d(BD,(SAE))=d(K,(SAE)) $.
Suy ra khoảng cách cần tìm chính là đường cao đỉnh K của tam giác cân SHK.
Khoảng cách đó tính được không khó! Như thế là xong!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Chỉnh lại bài 1:
trong mp(AMI), kẻ đường thẳng qua H song song với MI, cắt AI tại P
trên OC, lấy Q sao cho $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{HP} $
khi đó PQ là đoạn vuông góc cần dựng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Gởi cái hình vẽ bài 1 bằng geospace có thể xoay trong KG

File gốc kèm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Không ngờ vẽ hình không gian cũng có thể thực hiện tương tự cách dùng Latex như vậy! Em cám ơn thầy nhiều! Em đang tìm một phần mềm vẽ hình trong không gian có thể xoay được để quan sát thể tích phần chung của chúng (vì em đang học giải tích hàm, phần ứng dụng của tích phân hai, ba lớp). Để em dùng thử cái này xem sao, dù có vẻ nó không được "hướng đối tượng" cho lắm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]