Đối đồng điều de Rham của không gian vector bỏ đi một số điểm

[99]

99 làm trọn vẹn bài này để sau này có cái để ôn tập Sau khi thử nhiều cách thì thấy cách ổn nhất vẫn là cách của anh Mít Đặc

Ta tiến hành quy nạp như sau. Đặt $X_m
=\mathbb{R}^n\backslash\{a_1,\ldots,a_m\},$ và ta sẽ quy nạp theo
$m.$ Với $m = 1,$ ta biết rằng $\mathbb{R}^{m}\backslash\{a_1\}$
cùng loại đồng luân với $S^{n-1}$ (mặt cầu đơn vị trong
$\mathbb{R}^n$), mà đối đồng điều de Rham của $S^{n}$ là như sau :

$H^p_{DR}(S^n) = 0$ nếu $p$ khác $0$ và $n.$ $H^p_{DR}(S^n) =
\mathbb{R}$ nếu $p = 0$ hoặc $n.$

Vì thế trong trường hợp $m = 1$, $H^p_{DR}(X_1)$ bằng 0 nếu p khác 0
và n-1, bằng $\mathbb{R}$ nếu $p$ bằng 0 hoặc $n-1$

Trong trường hợp tổng quát. Ta có $X_m = X_{m-1}\cap \mathbb{R}^n -
\{a_m\}$ và $\mathbb{R}^n = X_{m-1} \cup \mathbb{R}^n - \{a_m\}.$
Ta có dãy Mayer-Vietoris như sau $\ldots\to H^p_{DR}(\mathbb{R}^n)
\to H^p_{DR}(X_{m-1})\oplus H^p_{DR}(\mathbb{R}^n-\{a_m\}) \to
H^p_{DR}(X_m) \to H^{p+1}_{DR}(\mathbb{R}^n)\to \ldots$

Ta thu được $H^p_{DR}(X_m) = H^p_{DR}(X_{m-1})$ nếu $p \neq n-1$ và
$H^p_{DR}(X_m) = H^p_{DR}(X_{m-1}) \oplus \mathbb{R}$ nếu $p = n-1.$

Kết luận $\boxed{H^0_{DR}(X_m) = \mathbb{R}} , \boxed{H^p_{DR}(X_m)
= 0}$ nếu $p \neq 0, n-1$ và $\boxed{H^{n-1}_{DR}(X_m) =
\mathbb{R}^{m}}$

(Lưu ý $n\geq 2$)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]