Giải phương trình nghiệm nguyên dương

[huynhcongbang]

Đây chính là đề VMO bảng B năm 2004. Lời giải khá rắc rối.
Giả sử $x \le y $.
Gợi ý là: chứng minh được $x, y $ cùng lẻ và tồn tại số nguyên dương $m<z $ sao cho có các đẳng thức:
$x+y=2^m, 1+xy=2^{z-m} $.
Chứng minh: $2m \le z $.
- Trong trường hợp $x = 1 $ thì thay vào và giải từ từ là ra.
- Với $x>1 $ thì từ đẳng thức:
$x^2-1=x(x+y)-(1+xy)=2^m(x-2^{z-2m}) $, suy ra $x+1 $ chia hết cho $2^{m-1} $, mà $x+1<x+y=2^m $ nên $x+1=2^{m-1} $.
Từ đây tìm được các nghiệm của bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]