Bài bdt đẹp.

[legend]

(Trương Tấn Sang, T0912, PTNK)
Cho a, b, c > 0. Cmr:
$\sum $$\frac{2a^2+bc}{a^2+2bc} $$\le $$\sqrt{\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{abc}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Uy_Vũ]

Nguyên văn bởi legend

(Trương Tấn Sang, T0912, PTNK)
Cho a, b, c > 0. Cmr:
$\sum $$\frac{2a^2+bc}{a^2+2bc} $$\le $$\sqrt{\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{abc}} $

Very nice but easy.
$<=>\sum \frac{3bc}{a^2+2bc}+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^ 2)}{abc}} \ge 6 $
Mặt khác theo CS thì
$\sum \frac{3bc}{a^2+2bc} \ge \frac{3(\sum \sqrt{bc})^2}{(a+b+c)^2} \ge \frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(a+ b+c)^2} $
Từ đây ta cần cm
$\sum \frac{3bc}{a^2+2bc}+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^ 2)}{abc}} \ge \frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(a+ b+c)^2}+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{abc}} \ge 6 $
Áp dụng Am-Gm cho 2 số thì ta cần cm
$(a^2+b^2+c^2)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \ge (a+b+c)^3 $ -mà cái này hiển nhiên đúng by holder
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yeutoanhoc207]

Bạn trình bày bước thứ 2 cụ thể hơn được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legend]

Chuyển vế trái qua vế phải, cộng 6 vào 2 vế. lấy 2 trừ cho mỗi một phần bên vế trái cũ. vd như 2 - $\frac{a^2+2bc}{2a^2+bc} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legend]

Câu hỏi đặt ra là có thể chỉ dùng AM-GM để giải bdt này k? Holder thì quá mạnh cho bài này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Thực ra để cm bđt Holder thì ta áp dụng Cauchy nên vẫn có thể chỉ dùng Cauchy để giải bài này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legend]

Ý e hỏi là 1 cách chứng minh khác. Cách của a Uy Vũ là hay rồi nhưng e muốn tìm một cách sơ cấp hơn nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]