Bài bất đẳng thức bên Mathlinks!

[Lan Phuog]

Cho $a,b,c >0 $.cmr:
$a^{3}c(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3ab)+b^{3}a(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3bc)+c^{3}b(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3ac) \geq 0 $
------------------------------
BĐT này khi chia cho $abc $ sẽ đẹp hơn:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^ 2}{a})\ge 3(a^3+b^3+c^3) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[_minhhoang_]

Nguyên văn bởi Lan Phuog

Cho $a,b,c >0 $.cmr:
$a^{3}c(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3ab)+b^{3}a(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3bc)+c^{3}b(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3ac) \geq 0 $
------------------------------
BĐT này khi chia cho $abc $ sẽ đẹp hơn:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^ 2}{a})\ge 3(a^3+b^3+c^3) $

Sử dụng BDT :
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} + a + b + c \ge \frac{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lan Phuog]

Nguyên văn bởi _minhhoang_

Sử dụng BDT :
$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} + a + b + c \ge \frac{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}} $

Bạn viết ra xem nào!
còn đây là lời giải của mình:
Giả sử $a $ là số lớn nhất trong 3 số. Có 2 trường hợp cần xét
TH1: $a\ge c\ge b $
Khi đó dễ dàng cm được $\sum \frac{a^2}{b} \ge \sum \frac{a^2}{c} $
Do đó $2VT\ge (a^2+b^2+c^2)\sum( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a})\ge 2VP $
Bđt tương đương với: $\sum S_c(a-b)^2\ge 0 $, trong đó $S_c=\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b)}{ab}-2(a+b)\ge 0 $ (hiển nhiên).
TH2: $a\ge b\ge c $.
Bđt trở thành: $S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2 $
trong đó $S_a=\frac{a^2+b^2-bc}{c},S_b=\frac{b^2+c^2-ca}{a},S_c=\frac{c^2+a^2-ab}{b} $
Thấy ngay $S_a,S_c>0 $ vì vậy:
1/ $S_b\ge 0 $ có đpcm
2/ $S_b<0\Leftrightarrow ac\geq b^2+c^2\geq 2c^2\Rightarrow a\geq 2c $
Nhận xét:
i, $S_a+2S_b=\frac{f(a)}{ac} $ với $f(a)=a^3+(b^2-bc-2c^2)a+2b^2c+2c^3 $ là hàm đồng biến với mọi $a\ge b,a\ge 2c $ do đó $f(a)\ge 0 $
Suy ra $S-a+2S_b\ge 0 $ (1)
ii, $S_c+2S_b=\frac{g(a)}{ab} $ với $g(a)=a^3-ba^2+(c^2-2bc)a+b^3+bc^2 $ là hàm đồng biến với $a\ge b, a\ge 2c $
Từ đây cũng có $S_c+2S_b\ge 0 $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[_minhhoang_]

Có nhầm lẫn chút trong tính toán. BDT ấy không đủ chặt để làm bài toán này. Mình xin lỗi
Đền lại = lời giải khác sử dụng BDT Cauchy-Schwarz:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]