bai nay khong kho lam

hoangtrung · 06-01-2008, 06:42 PM

cho cac so a,b,c duong
CMR
a/2b+b/2c+c/2a>=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(b+a)

**psquang_pbc** · 06-01-2008, 07:26 PM

Giả sử $c=\max(a,b,c) $

Ta có :

$\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
$

$\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}\right)(a-b)^2+\left(\frac{1}{2ac}-\frac{a+b+2c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right)(a-c)(b-c)\ge 0 $

Lại có :

$(a+c)(b+c)-2ab=c^2+c(a+b)-ab>0 $

$(a+b)(b+c)(c+a)-ac(a+b+2c)=c^2b+b^2a+b^2c+a^2b+abc-c^2a $

Nếu $c^2b+b^2a+b^2c+a^2b+abc-c^2a<0 $ thì $\frac{c}{a}>3 $ và $\frac{a}{2b}\ge \frac{1}{2} $ nên :

$\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}>2> \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
$

Ngược lại bất đẳng thức hiển nhiên đúng

akai · 06-01-2008, 10:37 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoangtrung

cho các số $a,b,c $ dương
CMR
$\frac a{2b}+\frac b{2c}+\frac c{2a}\ge \frac a{b+c}+\frac b{a+c}+\frac c{a+b} $

Em nhớ bài này đã từng đc giới thiệu bởi anh Hùng và anh Lâm. Xem bài viết của anh Hùng ở đây [Only registered and activated users can see links. ]

**psquang_pbc** · 06-01-2008, 11:28 PM

Các bạn check hộ mình xem cái lời giải trên kia nhé, thực ra thì làm giữa chừng cũng vướng chỗ cm M\ge 0 nhưng khi loay hoay tìm phản ví dụ mà chả được nên dò theo cái đó

conan236 · 07-01-2008, 01:09 PM

em chưa đọc lời giải anh Quang nên chưa biết cách giải đúng sai thế nào
nhưng anh thử với $a=35,b=3,c=2 $ thì $VT-VP=-0.5218078981<0 $ vậy chẳng lẽ đề sai à
quái lạ thật

everest · 07-01-2008, 02:01 PM

Bác Hoangtrung cho thiếu điều kiện rồi.Mình xin bổ sung điều kiện :$a,b,c $ là ba cạnh của tg

06-01-2008, 06:42 PM	#1
hoangtrung +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	bai nay khong kho lam cho cac so a,b,c duong CMR a/2b+b/2c+c/2a>=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(b+a)

06-01-2008, 07:26 PM	#2
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Giả sử $c=\max(a,b,c) $ Ta có : $\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $ $\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}\right)(a-b)^2+\left(\frac{1}{2ac}-\frac{a+b+2c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right)(a-c)(b-c)\ge 0 $ Lại có : $(a+c)(b+c)-2ab=c^2+c(a+b)-ab>0 $ $(a+b)(b+c)(c+a)-ac(a+b+2c)=c^2b+b^2a+b^2c+a^2b+abc-c^2a $ Nếu $c^2b+b^2a+b^2c+a^2b+abc-c^2a<0 $ thì $\frac{c}{a}>3 $ và $\frac{a}{2b}\ge \frac{1}{2} $ nên : $\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}>2> \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $ Ngược lại bất đẳng thức hiển nhiên đúng __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain! thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 06-01-2008 lúc 07:52 PM

06-01-2008, 11:28 PM	#4
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Các bạn check hộ mình xem cái lời giải trên kia nhé, thực ra thì làm giữa chừng cũng vướng chỗ cm M\ge 0 nhưng khi loay hoay tìm phản ví dụ mà chả được nên dò theo cái đó __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain!

07-01-2008, 01:09 PM	#5
conan236 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: Đà Nẵng Bài gởi: 287 Thanks: 17 Thanked 104 Times in 43 Posts	em chưa đọc lời giải anh Quang nên chưa biết cách giải đúng sai thế nào nhưng anh thử với $a=35,b=3,c=2 $ thì $VT-VP=-0.5218078981<0 $ vậy chẳng lẽ đề sai à quái lạ thật

07-01-2008, 02:01 PM	#6
everest Banned Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Đà Nẵng Bài gởi: 136 Thanks: 0 Thanked 4 Times in 2 Posts	Bác Hoangtrung cho thiếu điều kiện rồi.Mình xin bổ sung điều kiện :$a,b,c $ là ba cạnh của tg