3 cạnh tam giác và 3 số thực có tổng bằng 0

[n.t.tuan]

Cho a,b,c là các cạnh của tam giác và x,y,z là các số thực có tổng bằng 0. Chứng minh rằng $xya^2+yzb^2+zxc^2\leq 0 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Đang đợt thi, phải ngồi làm ít bài sơ cấp, tiện thể giải bài này cho vui vậy .

Tam giác đã cho là ABC.
Viết lại bất đẳng thức thành $\sum xysin^2C\leq 0 $ (khác với đề bài ban đầu) Tương đương với $\sum xy(1-cos2C)\leq 0 $ (1)

Lấy các vector $\vec{x} $,$\vec{y} $,$\vec{z} $ có module bằng module của $x,y,z $
góc như sau $(\vec{x},\vec{y}) = 2C $ (hướng thuận)

Bất đắng thức (1) tương đương với
$
\sum xy \leq \sum \vec{x}.\vec{y} $

Tương đương với

$(x+y+z)^2 \leq ( \vec{x}+ \vec{y}+\vec{z})^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Nguyên văn bởi 99

Bất đắng thức (1) tương đương với
$
\sum xy \leq \sum \vec{x}.\vec{y} $

Đoạn này bị nhầm hay sao ấy nhẩy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Đúng thật. Thế này phải xét trường hợp rồi @@. Thôi, đợi lời giải gọn vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lovemintu]

Để em thử quả
Do $x+y+z=0 $ đặt
$x=y'-z',y=z'-x',z=x'-y' $ tóm lại ta phải cm
$\sum (x-y)(x-z)a^2 $ với a,b,c là 3 cạnh tam giac $x,y,z\in R $ nó tương đương $\sum yz\cos A\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2} $ bdt cơ bản :nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Bất đẳng thức tổng quát $(x+y+z)^2R^2\geq xya^2+yzb^2+zxc^2 $, tổng quát hơn nữa $(\sum_{i=1}^na_i)(\sum_{i=1}^ma_iMA_i^2)\geq \sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_jA_iA_j^2. $Chứng minh bằng cách khai triển $(\sum a_i\vec{MA_i})^2\geq 0 $. Bài toán của topic cũng có thể chứng minh bằng tam thức bậc hai.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]