Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tài Liệu/Documents

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-04-2013, 12:11 PM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Đề thi OLP SV năm 2013 môn Đại số

Câu 1. Cho hệ phương trình tuyến tính
$$ \left\{ \begin{matrix}
-x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
x_1 & - & 5x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & - & [n(n+1)-1]x_n & = \ 1.
\end{matrix} \right. $$
  1. Giải phương trình với $n=5$.
  2. Giải phương trình với $n$ bất kỳ.

Câu 2. Cho $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,\ldots,e^{x^n}, \, n \ge 1$. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ các hàm số liên tục trên đoạn $[0,1]$.

Câu 3. Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số thực, $n \ge 2$. Tính định thức
$$ D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -a_2 & a_2-a_3 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1}-a_n
\end{vmatrix}. $$
Câu 4. Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên trường số thực sao cho $A^2B=BA^2$. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ lũy linh, tức là mọi lũy thừa đủ lớn của nó bằng 0.

Câu 5. Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,\ldots,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+\cdots b_n$ lẻ, $n \ge 1$. Chứng minh rằng đa thức
$$ P(x)=ax^{n+1}+b_1x^n+\cdots+b_nx+a $$
không có nghiệm hữu tỉ,

Câu 6. Có bao nhiêu ma trận vuông câp $n$ có đúng $n+1$ phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và có định thức bằng 1?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
hieu1411997 (10-04-2013), magician_14312 (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013), YeuEm Zayta (30-03-2014)
Old 10-04-2013, 12:41 PM   #2
klemen
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 4
Thanks: 4
Thanked 5 Times in 2 Posts
Câu 4 sai đề. Sinh viên kiếm điểm mà làm ăn chán quá. Năm nào cũng sai *bíp* thể hiểu nổi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg 563612_471335192939861_2129050123_n.jpg (24.9 KB, 53 lần tải)
Kiểu File : jpg 534932_471334859606561_1871153030_n.jpg (36.0 KB, 47 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: klemen, 10-04-2013 lúc 12:51 PM
klemen is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2013, 01:27 PM   #3
khanhkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 58
Thanks: 4
Thanked 21 Times in 14 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Câu 1. Cho hệ phương trình tuyến tính
$$ \left\{ \begin{matrix}
-x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
x_1 & - & 5x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & - & [n(n+1)-1]x_n & = \ 1.
\end{matrix} \right. $$
  1. Giải phương trình với $n=5$.
  2. Giải phương trình với $n$ bất kỳ.

Câu 2. Cho $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,\ldots,e^{x^n}, \, n \ge 1$. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ các hàm số liên tục trên đoạn $[0,1]$.

Câu 3. Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số thực, $n \ge 2$. Tính định thức
$$ D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -a_2 & a_2-a_3 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1}-a_n
\end{vmatrix}. $$
Câu 4. Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên trường số thực sao cho $A^2B=BA^2$. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ lũy linh, tức là mọi lũy thừa đủ lớn của nó bằng 0.

Câu 5. Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,\ldots,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+\cdots b_n$ lẻ, $n \ge 1$. Chứng minh rằng đa thức
$$ P(x)=ax^{n+1}+b_1x^n+\cdots+b_nx+a $$
không có nghiệm hữu tỉ,

Câu 6. Có bao nhiêu ma trận vuông câp $n$ có đúng $n+1$ phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và có định thức bằng 1?
Em xin phép chém câu 5 và 6.
Câu 5: giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ (p,q nguyên tố cùng nhau, q khác 0). Khi đó:
$q^{n+1}.P(\frac{p}{q})=a.p^{n+1}+b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=0$
Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=-a.p^{n+1}$
Suy ra $aq^{n+1}$ chia hết cho p suy ra $a$ chia hết cho $p$ suy ra $p$ lẻ.
Hoàn toàn tương tự $q$ cũng lẻ.
Do đó:$b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$ chẵn. Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}$ lẻ. Lại có $a.p^{n+1}+aq^{n+1}$ chẵn nên $q^{n+1}.P(\frac{p}{q})$ lẻ.Suy ra $P(\frac{p}{q})$ khác 0. Pt ko có nghiệm hữu tỉ.
Câu 6:sử dụng nguyên lí dirichle. Nếu tồn tại 3 số 1 cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì còn lại n-2 số 1 nằm trên n-1 dòng hoặc cột. Do đó sẽ có ít nhất 1 dòng hoặc cột ko có số 1 nào tức là toàn số 0. Định thức khi đó bằng 0. Vậy chỉ có thể tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột. Khi tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì định thức sẽ gồm n-1 số 1 nằm khác hàng và cột và 2 số 1 nằm chung 1 hàng và 2 số 1 nằm chung 1 cột, giá trị của định thức luôn bằng giá trị của định thức mới khi thay 1 số 1 nằm trên vị trí thuộc hàng chứa 2 số 1 và cột 2 số 1 bởi 0 (Cm điều này bằng khai triển định thức trên dòng chứa 2 số 1 ta sẽ có định thức con của số 1 đó luôn bằng 0). Giá trị của định thức bằng giá trị của định thức mới và bằng $a_{i_{1}}.a_{i_{2}}...a_{i_{n}}.(-1)^{w(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$.
Trong đó $a_{i_{j}}=1$ với $j$ từ 1 đến n.$i_{1},i_{2},...,i_{n}={1,2,3,4,...,n}$
$w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ là số nghịch thế của dãy $i_{1},i_{2},...,i_{n}$.
Giá trị của định thức bằng 1 khi $w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ chẵn. Ta có số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ mà có tổng cộng $n!$ hoán vị nên sẽ có $\frac{n!}{2}$ hoán vị có số nghịch thế chẵn. Vị trí của số 1 bị thế bởi giá trị 0 sẽ có $n^2-n$ vị trí. Do đó sẽ có $\frac{n!}{2}.(n^2-n)$ ma trận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khanhkhtn, 10-04-2013 lúc 02:36 PM
khanhkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to khanhkhtn For This Useful Post:
leminhansp (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013)
Old 10-04-2013, 05:46 PM   #4
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khanhkhtn View Post
Em xin phép chém câu 5 và 6.
Câu 5: giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ (p,q nguyên tố cùng nhau, q khác 0). Khi đó:
$q^{n+1}.P(\frac{p}{q})=a.p^{n+1}+b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=0$
Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=-a.p^{n+1}$
Suy ra $aq^{n+1}$ chia hết cho p suy ra $a$ chia hết cho $p$ suy ra $p$ lẻ.
Hoàn toàn tương tự $q$ cũng lẻ.
Do đó:$b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$ chẵn. Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}$ lẻ. Lại có $a.p^{n+1}+aq^{n+1}$ chẵn nên $q^{n+1}.P(\frac{p}{q})$ lẻ.Suy ra $P(\frac{p}{q})$ khác 0. Pt ko có nghiệm hữu tỉ.
Câu 6:sử dụng nguyên lí dirichle. Nếu tồn tại 3 số 1 cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì còn lại n-2 số 1 nằm trên n-1 dòng hoặc cột. Do đó sẽ có ít nhất 1 dòng hoặc cột ko có số 1 nào tức là toàn số 0. Định thức khi đó bằng 0. Vậy chỉ có thể tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột. Khi tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì định thức sẽ gồm n-1 số 1 nằm khác hàng và cột và 2 số 1 nằm chung 1 hàng và 2 số 1 nằm chung 1 cột, giá trị của định thức luôn bằng giá trị của định thức mới khi thay 1 số 1 nằm trên vị trí thuộc hàng chứa 2 số 1 và cột 2 số 1 bởi 0 (Cm điều này bằng khai triển định thức trên dòng chứa 2 số 1 ta sẽ có định thức con của số 1 đó luôn bằng 0). Giá trị của định thức bằng giá trị của định thức mới và bằng $a_{i_{1}}.a_{i_{2}}...a_{i_{n}}.(-1)^{w(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$.
Trong đó $a_{i_{j}}=1$ với $j$ từ 1 đến n.$i_{1},i_{2},...,i_{n}={1,2,3,4,...,n}$
$w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ là số nghịch thế của dãy $i_{1},i_{2},...,i_{n}$.
Giá trị của định thức bằng 1 khi $w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ chẵn. Ta có số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ mà có tổng cộng $n!$ hoán vị nên sẽ có $\frac{n!}{2}$ hoán vị có số nghịch thế chẵn. Vị trí của số 1 bị thế bởi giá trị 0 sẽ có $n^2-n$ vị trí. Do đó sẽ có $\frac{n!}{2}.(n^2-n)$ ma trận.
Bài 6: Ta định nghĩa một ma trận tiêu chuẩn là ma trận thu được bằng cách thay một phần tử tùy ý có giá trị 0 ở ma trận đơn vị thành giá trị 1. Để ý rằng định thức của mọi ma trận tiêu chuẩn đều bằng 1. Như vậy ta có thể giải bài toán bằng một nhận xét sau:
Gọi A là ma trận thõa mãn các yêu cầu của bài toán, thế thì mỗi hàng và mỗi cột của ma trận phải có ít nhất 1 phần tử là 1 (để đảm bảo định thức khác 0). Nhờ vào tính chất này, có thể đổi chỗ các cột của A để thu được một ma trận tiêu chuẩn, và dựa vào việc detA=1 suy ra số lần đổi chỗ các cột phải là số chẵn. Như vậy ta có thể tạo ra A bằng cách đổi chỗ số chẵn lần các cột của một ma trận tiêu chuẩn tùy ý.
Số ma trận tiêu chuẩn là: $n(n-1) $.
Số ma trận tạo ra bằng cách đổi chỗ các cột với số chẵn lần là: $\frac{n!}{2} $.
Như vậy số ma trận cần tìm đúng như đáp án của bạn khanhkhtn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
leminhansp (10-04-2013), study_more_91 (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013)
Old 10-04-2013, 05:53 PM   #5
kynamsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 135
Thanks: 78
Thanked 65 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khanhkhtn View Post
Em xin phép chém câu 5 và 6.
Câu 5: giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ (p,q nguyên tố cùng nhau, q khác 0). Khi đó:
$q^{n+1}.P(\frac{p}{q})=a.p^{n+1}+b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=0$
Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}+ aq^{n+1}=-a.p^{n+1}$
Suy ra $aq^{n+1}$ chia hết cho p suy ra $a$ chia hết cho $p$ suy ra $p$ lẻ.
Hoàn toàn tương tự $q$ cũng lẻ.
Do đó:$b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$ chẵn. Suy ra $b_{1}. p^{n}q+...+b_{n}.pq^{n}$ lẻ. Lại có $a.p^{n+1}+aq^{n+1}$ chẵn nên $q^{n+1}.P(\frac{p}{q})$ lẻ.Suy ra $P(\frac{p}{q})$ khác 0. Pt ko có nghiệm hữu tỉ.
Câu 6:sử dụng nguyên lí dirichle. Nếu tồn tại 3 số 1 cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì còn lại n-2 số 1 nằm trên n-1 dòng hoặc cột. Do đó sẽ có ít nhất 1 dòng hoặc cột ko có số 1 nào tức là toàn số 0. Định thức khi đó bằng 0. Vậy chỉ có thể tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột. Khi tồn tại nhiều nhất 2 số 1 ở cùng 1 dòng hoặc 1 cột thì định thức sẽ gồm n-1 số 1 nằm khác hàng và cột và 2 số 1 nằm chung 1 hàng và 2 số 1 nằm chung 1 cột, giá trị của định thức luôn bằng giá trị của định thức mới khi thay 1 số 1 nằm trên vị trí thuộc hàng chứa 2 số 1 và cột 2 số 1 bởi 0 (Cm điều này bằng khai triển định thức trên dòng chứa 2 số 1 ta sẽ có định thức con của số 1 đó luôn bằng 0). Giá trị của định thức bằng giá trị của định thức mới và bằng $a_{i_{1}}.a_{i_{2}}...a_{i_{n}}.(-1)^{w(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$.
Trong đó $a_{i_{j}}=1$ với $j$ từ 1 đến n.$i_{1},i_{2},...,i_{n}={1,2,3,4,...,n}$
$w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ là số nghịch thế của dãy $i_{1},i_{2},...,i_{n}$.
Giá trị của định thức bằng 1 khi $w(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ chẵn. Ta có số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ mà có tổng cộng $n!$ hoán vị nên sẽ có $\frac{n!}{2}$ hoán vị có số nghịch thế chẵn. Vị trí của số 1 bị thế bởi giá trị 0 sẽ có $n^2-n$ vị trí. Do đó sẽ có $\frac{n!}{2}.(n^2-n)$ ma trận.
câu 4 rất quen hình như là để thi IMC năm trước bài này đã được thảo luận ở diễn đàn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kynamsp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2013, 06:52 PM   #6
leminhansp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 21
Thanks: 30
Thanked 4 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kynamsp View Post
câu 4 rất quen hình như là để thi IMC năm trước bài này đã được thảo luận ở diễn đàn
Không phải đâu bạn, đề câu IMC 2009 day 2 giả thiết là $A^2B+BA^2=2ABA$ và đã được mấy bác nhà mình dùng trong đề năm 2011 rồi (thay bằng giả thiết dễ hơn cho $AB-BA$ giao hoán với cả $A$ và $B$)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leminhansp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-04-2013, 02:25 AM   #7
beyondinfinity
+Thành Viên+
 
beyondinfinity's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 456
Thanks: 64
Thanked 215 Times in 143 Posts
Câu 1: Mỗi phương trình trong hệ có thể viết thành $\sum_{i=1}^n{x_i}-1=i(i+1)x_i $
Như vậy, nếu đặt $a=i(i+1)x_i $ thì ta có:
$a\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}-1=a $
tương đương:
$a(1-\frac{1}{n+1})-a-1=0 $
Suy ra $a=-(n+1) $
Nghiệm của hệ là $x_i=\frac{-(n+1)}{i(i+1)} $.
Câu 5: Giả sử pt có nghiệm hữu tỉ (chú ý là chắc chắn nghiệm này khác 0) $p/q $, trong đó $(p,q)=1 $.
Từ đó:
$ap^{n+1}+b_1p^nq+\ldots+aq^{n+1}=0 $
Nếu $p $ và $q $ cùng lẻ hay có đúng 1 số chẵn thì vế trái đều là 1 số lẻ, do đó ta có giả sử phản chứng là sai.
Câu 6:
Nếu có tồn tại 1 hàng hay 1 cột không có số 1 nào thì đương nhiên định thức là 0. Như vậy ta chỉ xét trường hợp bất kì hàng hay cột nào cũng có ít nhất 1 số 1.
Từ đây suy ra, có đúng 1 số $a_{i,j}=1 $ mà nó cùng hàng (và cùng cột) với một số 1 khác (và một số 1 khác nữa). Dùng tính chất đa tuyến tính của định thức, ta tách ma trận đã cho theo hàng $i $ thành 1 ma trận có $n $ số 1 mà không có 2 số 1 nào cùng hàng hoặc cùng cột và một ma trận khác có 2 hàng thứ $i $ và thứ $k $ nào đó giống nhau (tất cả các vị trí đều là 0 trừ vị trí ở cột $j $). Định thức ma trận thứ 2 là 0 và ma trận thứ nhất là dấu của hoán vị tương ứng với ma trận (cái này giống kiểu biểu diễn hoán vị bằng ma trận).
Ta có 1 song ánh từ chọn ma trận cần tìm vào chọn 1 ma trận hoán vị chẵn và vị trí viết thêm 1 số 1 vào $n(n-1) $ vị trí còn lại. Tức là số ma trận thỏa mãn là $n(n-1)\times \frac{n!}{2} $.
(Dùng kết quả số các hoán vị chẵn là $\frac{n!}{2} $ (nhóm thay phiên $A_n $).
------------------------------
Câu 3 là bài 12.19 cuốn ĐSTT qua các ví dụ và bài tập thì phải. Nếu đặt $b_i=(-1)^ia_i $ và nhân $-1 $ vào các cột lẻ thì sẽ đưa về bài đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 14-04-2013 lúc 02:32 AM Lý do: Tự động gộp bài
beyondinfinity is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to beyondinfinity For This Useful Post:
MathForLife (10-02-2014)
Old 31-12-2014, 04:27 PM   #8
tienduy95
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Ai có file đáp án,đề không cho mình xin.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tienduy95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-12-2014, 04:58 PM   #9
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đây là kỷ yếu của ĐH Duy Tân năm đó, có đủ đáp án cả 2 môn đấy bạn:

https://www.dropbox.com/s/gsr684lv9d...02013.pdf?dl=0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
thaygiaocht (31-12-2014)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:15 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 84.90 k/95.42 k (11.03%)]