Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-06-2011, 11:58 AM   #1501
pth_tdn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: HCM City
Bài gởi: 183
Thanks: 25
Thanked 240 Times in 122 Posts
$a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} \geq a+b $
Giả sử kết luận đúng với $k;k-1 (k \geq 2) $
Ta chứng minh kết luận đúng với $k+1 $.
Thật vậy: Theo Bunhiakovsky: $(a^{k+1}+b^{k+1})(a^{k-1}+b^{k-1}) \geq (a^k+b^k)^2 $ suy ra $a^{k+1}+b^{k+1} \geq a^k+b^k $ (do $a^{k-1}+b^{k-1} \leq a^k+b^k $)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
pth_tdn is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to pth_tdn For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011), n.v.thanh (21-08-2011)
Old 25-06-2011, 12:07 PM   #1502
LiKE.NO.OTHER
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 41
Thanks: 26
Thanked 25 Times in 9 Posts
Cho x,y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=3.Chứng minh $\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
LiKE.NO.OTHER is offline  
The Following User Says Thank You to LiKE.NO.OTHER For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 25-06-2011, 01:32 PM   #1503
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Bài toán này đã được anh Tạ Minh Hoằng (Minhhoang) giải trên MS 1 lần cách đây vài tháng. Mình xin trình bày lại lời giải:
Gọi $(x;y;z) $ là một hoán vị của $(a;b;c) $ sao cho $x\ge y\ge z $. Khi đó theo bất đẳng thức hoán vị ta có:
$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\le x^3y^2+x^2yz^2+z^3y^2 $
do 2 dãy $x;y;z $ và $x^2y^2;z^2x^2;y^2z^2 $ đơn điệu cùng chiều.
Như vậy ta sẽ chứng minh:
$x^3y^2+yx^2z^2+z^3y^2\le 3 $
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$2x^3y^2\le y(x^4+x^2y^2) $
$2z^3y^2\le y(z^4+z^2y^2) $
Chỉ còn cần chứng minh:
$y(x^4+x^2y^2)+y(z^4+z^2y^2)+2yz^2x^2\le 6 $
$\Leftrightarrow y(x^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)\le 6 $
$\Leftrightarrow y(3-y^2)\le 2 $
(vì $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2=3 $ )
$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+2)\ge 0 $
Bất đằng thức cuối đúng cho ta đpcm. Đẳng thức chỉ có khi $x=y=z $ hay $a=b=c=1 $.
Bất đẳng thức mạnh hơn cũng đúng.

Trích:
Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng
$(ab+bc+ca)(a^2b+b^2c+c^2a)\le 9. $
Và ta cũng có bất đẳng thức tổng quát hơn

Trích:
Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Với $n\ge 2, $ chứng minh rằng
$a\sqrt[n]{ab}+b\sqrt[n]{bc}+c\sqrt[n]{ca}\le 3. $
============

Trích:
Nguyên văn bởi extremeqx9770 View Post
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\[\begin{array}{l}
{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} \ge 3({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \Leftrightarrow 2{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - 6({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \ge 0\\
\Leftrightarrow \sum {{{({a^2} - 2ab + bc - {c^2} + ca)}^2}} \ge 0
\end{array}\] $
Điều này hiển nhiên đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $$a = b = c$ $ hoặc trong bộ 3 số sau và các hoán vị $\[(a,b,c) = k\left( {{{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}} \right)\] $
Bài này mình lấy từ cuốn “ Sáng tạo bất đẳng thức “ của anh Phạm Kim Hùng
Bài này có thể chứng minh được bằng Cauchy Schwarz.

============

Trích:
Nguyên văn bởi lelouch96 View Post
$a^{n} + b^{n} \le a^{n+1} + b^{n+1} $ với $a + b\geq 2 $

chứng minh bằng qui nạp
Bài của bạn khá là "ẩu".

Không có điều kiện của $a,b,n $ thì làm kiểu gì đây bạn ? Đã vậy bạn cũng không biết hoa đầu câu, kết thúc bài mà không có lấy dấu chấm. Không có lấy một yêu cầu làm gì, mà độc nhất một câu: "chứng minh bằng quy nạp". Mình mạn phép xóa bài của bạn để bạn rút kinh nghiệm.

============

Trích:
Nguyên văn bởi LiKE.NO.OTHER View Post
Cho x,y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=3.Chứng minh $\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq \frac{3}{2} $
Gợi ý Dùng AM-GM như sau

$\[\begin{aligned}
\frac{1}{{xyz}} + \frac{4}{{(x + y)(y + z)(z + x)}}& = \frac{1}{{2xyz}} + \frac{1}{{2xyz}} + \frac{4}{{(x + y)(y + z)(z + x)}}\\
&\ge \frac{1}{{2xyz}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {xyz(x + y)(y + z)(z + x)} }}.
\end{aligned}\] $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: leviethai, 25-06-2011 lúc 01:36 PM
leviethai is offline  
The Following 4 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
ilovehien95 (25-06-2011), LiKE.NO.OTHER (25-06-2011), Lil.Tee (26-06-2011), nguyenhtctb (26-06-2011)
Old 25-06-2011, 03:28 PM   #1504
birain9x
+Thành Viên+
 
birain9x's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 119
Thanks: 28
Thanked 41 Times in 23 Posts
Cho a,b,c>0 và n là một số nguyên dương không nhỏ hơn 2.CMR
$3\frac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}\geq \frac{a^n+b^n}{a+b}+\frac{b^n+c^n}{b+c}+\frac{c^n+ a^n}{c+a} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
birain9x is offline  
The Following User Says Thank You to birain9x For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 25-06-2011, 03:32 PM   #1505
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 297
Thanks: 35
Thanked 306 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Các bạn giúp minh bài này với
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a) $
Bất đẳng thức này cũng đúng với $a,b,c $ là các số thực bất kỳ.
Ta đã biết với mọi số thực $x,y,z $ thì
$(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx) $
chọn
$x=a^2+bc-ab,\;y=b^2+ca-bc,\;z=c^2+ab-ca $
ta thu được
$\left [ \sum (a^2+bc-ab) \right ]^2\ge3\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc) $
Bằng một số tính toán đơn giản, ta thấy rằng
$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2 $

$\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a $
Nên ta có
$(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a). $
Gần đấy mình trông thấy trên giang hồ xuất một cách phân tích nhìn rất khủng mà từ đó ta suy ra bất đẳng thức đã cho là đúng (còn tính chính xác thì các bạn tự kiểm tra nhé). Bằng cách xét hiệu hai vế của bất đẳng thức, ta được
$\begin{aligned}\left ( \sum a^2 \right )^2-3\sum a^2b&=\sum\left [\frac{1}{2}a^2-\left (\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).ab+\frac{\sqrt{5}}{2}ca+\left (\frac{ \sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4} \right ).b^2+\left (\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).bc-\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{3}.a^2-\left (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).ab+\frac{\sqrt{15}}{3}.ca+\left (\frac{ \sqrt{15}}{6}-\frac{1}{6} \right ).b^2+\left (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).bc-\left (\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{4}.a^2-\left (\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8}.ab \right )+\frac{\sqrt{29}}{4}.ca+\left (\frac{ \sqrt{29}}{8}-\frac{1}{8} \right ).b^2+\left (\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{29}}{8} \right ).bc-\left (\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8} \right )c^2 \right ]^2.\end{aligned} $
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 25-06-2011 lúc 04:32 PM
Nguyenhuyen_AG is offline  
The Following 5 Users Say Thank You to Nguyenhuyen_AG For This Useful Post:
franciscokison (26-06-2011), ladykillah96 (26-06-2011), Lil.Tee (26-06-2011), magician_14312 (26-06-2011), nguyenhtctb (26-06-2011)
Old 26-06-2011, 01:08 AM   #1506
ttytty
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 38
Thanks: 20
Thanked 11 Times in 11 Posts
Mình có bài này, nhờ mọi người giải giùm :
Cho $a,b,c \ge 0 $.
Chứng minh rằng $\sum_{cyc} \frac{ab}{a+9b+6c} \le \frac{a+b+c}{16} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 26-06-2011 lúc 08:27 AM
ttytty is offline  
The Following User Says Thank You to ttytty For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 26-06-2011, 09:18 AM   #1507
bac_hai_60
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 8
Thanks: 6
Thanked 11 Times in 4 Posts
Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho ba số $\[x,y,z>0\] $ thỏa mãn $\[x+y+z\le \frac{3}{2}\] $
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$\[P=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{4}{{{z }^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac {4}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}} }+\frac{4}{{{y}^{2}}}}\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bac_hai_60 is offline  
The Following User Says Thank You to bac_hai_60 For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 26-06-2011, 09:52 AM   #1508
th2091
+Thành Viên+
 
th2091's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: THPT Kiến Thụy-Hải Phòng
Bài gởi: 140
Thanks: 39
Thanked 92 Times in 58 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi bac_hai_60 View Post
Cho ba số $\[x,y,z>0\] $ thỏa mãn $\[x+y+z\le \frac{3}{2}\] $
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$\[P=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{4}{{{z }^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac {4}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}} }+\frac{4}{{{y}^{2}}}}\] $
Áp dụng Mincopxki thì $P\ge\sqrt{(x+y+z)^2+(\sum\frac{1}{x})^2+(\sum\frac {2}{x})^2}\ge\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}+ \frac{324}{(x+y+z)^2}} $
$\Rightarrow P\ge \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{16(x+y+z)^2}+\frac{6399} {16(x+y+z)^2}}\ge \sqrt{3.\frac{9}{4}+\frac{6399.4}{16.9}}=\frac{27} {2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
th2091 is offline  
The Following User Says Thank You to th2091 For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 26-06-2011, 12:24 PM   #1509
bac_hai_60
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 8
Thanks: 6
Thanked 11 Times in 4 Posts
Bài 1 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn $\[a,b,c>0,a+b+c+\sqrt{2abc}\ge 10\] $
Chứng minh rằng :

$\sqrt {{8 \over {{a^2}}} + {{9{b^2}} \over 2} + {{{c^2}{a^2}} \over 4}} + \sqrt {{8 \over {{b^2}}} + {{9{c^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 4}} + \sqrt {{8 \over {{c^2}}} + {{9{a^2}} \over 2} + {{{b^2}{c^2}} \over 4}} \ge 6\sqrt 6 $

Bài 2 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn $\[a,b,c>0,a+b+c=3\] $.
Chứng minh rằng :

$\[\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{2}{a+1}+{{b}^{4}}}+\sqrt{2{ {b}^{2}}+\frac{2}{b+1}+{{c}^{4}}}+\sqrt{2{{c}^{2}} +\frac{2}{c+1}+{{a}^{4}}}\ge 6\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bac_hai_60 is offline  
The Following User Says Thank You to bac_hai_60 For This Useful Post:
ilovehien95 (26-06-2011)
Old 26-06-2011, 01:53 PM   #1510
franciscokison
+Thành Viên+
 
franciscokison's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2009
Đến từ: Hanoi University of Science and Technology
Bài gởi: 652
Thanks: 120
Thanked 249 Times in 181 Posts
Gửi tin nhắn qua MSM tới franciscokison Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới franciscokison
Cho $a,b,c $ là ba số thực dương. Đặt
$S_r=a^r (a-b)(a-c)+b^r (b-c)(b-a)+c^r (c-a)(c-b), $ với $r $ là số thực dương.
Chứng minh rằng:
$S_2^2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(ab+bc+ca)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\ge 2abc S_1 \cdot S_2+S_2 \cdot S_4 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
SvBk
[Only registered and activated users can see links. ][Only registered and activated users can see links. ]
$\begin{math}
\heartsuit\heartsuit\heartsuit
\end{math}. $
[Only registered and activated users can see links. ]
franciscokison is offline  
Old 26-06-2011, 04:59 PM   #1511
hieultv12
+Thành Viên+
 
hieultv12's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: đồng nai
Bài gởi: 61
Thanks: 16
Thanked 63 Times in 31 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi bac_hai_60 View Post
Bài 2 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn $\[a,b,c>0,a+b+c=3\] $.
Chứng minh rằng :
$\[\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{2}{a+1}+{{b}^{4}}}+\sqrt{2{ {b}^{2}}+\frac{2}{b+1}+{{c}^{4}}}+\sqrt{2{{c}^{2}} +\frac{2}{c+1}+{{a}^{4}}}\ge 6\] $
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được
$\[\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{2}{a+1}+{{b}^{4}}}+\sqrt{2{ {b}^{2}}+\frac{2}{b+1}+{{c}^{4}}}+\sqrt{2{{c}^{2}} +\frac{2}{c+1}+{{a}^{4}}}\ge \sqrt{2(a+b+c)^2+2(\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{ \sqrt{b+1}} +\frac{1}{\sqrt{c+1}})^2+(a+b+c)^2}=\sqrt{27+2( \frac{1}{ \sqrt{a+1}}+\frac{1}{ \sqrt{b+1}} +\frac{1}{\sqrt{c+1}})^2} \ge \sqrt{27+2(\frac{3}{ \sqrt[6]{(a+1)(b+1)(c+1)}})^2 $$= \sqrt{27+ \frac{18}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}} \ge \sqrt{27+\frac{54}{a+1+b+1+c+1}}=\sqrt{36}=6 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hieultv12 is offline  
Old 26-06-2011, 05:09 PM   #1512
magician_14312
Moderator
 
magician_14312's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: Solar System
Bài gởi: 367
Thanks: 201
Thanked 451 Times in 220 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ttytty View Post
Mình có bài này, nhờ mọi người giải giùm :
Cho $a,b,c \ge 0 $.
Chứng minh rằng $\sum_{cyc} \frac{ab}{a+9b+6c} \le \frac{a+b+c}{16} $.
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có:
$\frac{16}{a+9b+6c}=\frac{(1+3)^2}{(3c+a)+3(3b+c)} \le \frac{1}{3c+a}+\frac{3}{3b+c}. $
Sử dụng đánh giá này, ta thu được:
$\sum \frac{16ab}{a+9b+6c}\leq \sum \frac{ab}{3c+a}+\sum \frac{3ab}{3b+c}=a+b+c $
Suy ra
$\sum \frac{ab}{a+9b+6c}\leq \frac{a+b+c}{16}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
magician_14312 is offline  
Old 27-06-2011, 08:57 AM   #1513
kid3494
+Thành Viên+
 
kid3494's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 53
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 7 Posts
Các bạn giúp mình bài tập này
Cho tam giác ABC nhọn
CMR $cos(\frac{A - B}{2}) + cos(\frac{B - C}{2}) + cos(\frac{C - A}{2}) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{a + b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} + \frac{b + c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} + \frac{c + a}{\sqrt{c^{2} + a^{2}}}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kid3494 is offline  
Old 27-06-2011, 12:05 PM   #1514
toanlc_gift
+Thành Viên+
 
toanlc_gift's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Đến từ: FU
Bài gởi: 171
Thanks: 31
Thanked 142 Times in 80 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Các bạn giúp mình bài tập này
Cho tam giác ABC nhọn
CMR $cos(\frac{A - B}{2}) + cos(\frac{B - C}{2}) + cos(\frac{C - A}{2}) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{a + b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} + \frac{b + c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} + \frac{c + a}{\sqrt{c^{2} + a^{2}}}) $
$cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = \frac{{cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)cos\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\cos A + \cos B}}{{2\sqrt {\frac{{1 - \cos C}}{2}} }} $
$= \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{2\sqrt {\frac{{1 - \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{2}} }} = \frac{{\frac{{(a + b)({c^2} - {{(a - b)}^2})}}{{abc}}}}{{2\sqrt {\frac{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}}{{ab}}} }} = \frac{{(a + b)\sqrt {{c^2} - {{(a - b)}^2}} }}{{2c\sqrt {ab} }} $
ta sẽ chứng minh
$\frac{{(a + b)\sqrt {{c^2} - {{(a - b)}^2}} }}{{2c\sqrt {ab} }} \le \frac{{a + b}}{{\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} $
$\Leftrightarrow \frac{{2ab{c^2}}}{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}} \ge {a^2} + {b^2} $
$\Leftrightarrow \frac{{2ab{{(a - b)}^2}}}{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}} \ge {(a - b)^2} $
$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2} $(luôn đúng khi ABC là tam giác nhọn)
vậy $cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \le \frac{{a + b}}{{\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} $
làm 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta được đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
toanlc_gift is offline  
The Following User Says Thank You to toanlc_gift For This Useful Post:
Mr_Trang (30-06-2011)
Old 27-06-2011, 03:01 PM   #1515
ilovehien95
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 76
Thanks: 142
Thanked 13 Times in 8 Posts
Cho a,b,c là số thực dương
cm
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}
+\dfrac{c^2}{a} \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2-ac} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Listen to the rhymth of the falling rain. Tellling me what a fool i've been........I CANT love another when my heart somewhere faraway
ilovehien95 is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:34 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 108.83 k/125.25 k (13.11%)]