Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-07-2011, 12:56 AM   #1651
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Cho $a,b,c,d $ dương. Chứng minh rằng:
$4.\sqrt[{16}]{{\dfrac{{32a(a + b)(a + b + c)}}{{3(a + b + c + d)^3 }}}} + \sqrt[4]{{\dfrac{{24bcd}}{{(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)}}}} \le 5 $
Dùng AM-GM cho 16 số ta có:
$16.\sqrt[16]{{\dfrac{{32a(a + b)(a + b + c)}}{{3(a + b + c + d)^3 }}}}=16.\sqrt[16]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3(a+b)}{2(a+b+c)}.\frac{3(a+ b)}{2(a+b+c)}.\frac{4(a+b+c)}{3(a+b+c+d)}.\frac{4( a+b+c)}{3(a+b+c+d)}.\frac{4(a+b+c)}{3(a+b+c+d)}} $
$\le \frac{2a}{a+b}+2.\frac{3(a+b)}{2(a+b+c)}+3.\frac{4 (a+b+c)}{3(a+b+c+d)}+10=\frac{2a}{a+b}+\frac{3(a+b )}{a+b+c}+\frac{4(a+b+c)}{a+b+c+d}+10 $ (1)

Lại có:$4.\sqrt[4]{{\dfrac{{24bcd}}{{(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)}}}}=4.\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c},\frac{4d}{a+b+c+d }} $
$\le \frac{2b}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}+\frac{4d}{a+b+c+d} +1 $ (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
kimdungmen (02-01-2012), lovemath102 (11-08-2011)
Old 10-07-2011, 10:12 AM   #1652
hien123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
Bài gởi: 353
Thanks: 19
Thanked 261 Times in 165 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daiduong1095 View Post
Cho $a,b,c>0 $.Cmr: $(a^3+b^3+c^3)^2 \ge(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca) $
Một lời giải khác của bạn Nguyễn Trọng Tùng: Bằng phép khai triển trực tiếp, BĐT đã cho tương đương với: $\sum a^{6}+2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum a^{4}bc+\sum \left ( a^{5}b+b^{5}a \right ) $. Theo BĐT AM-GM ta có: $\sum a^{4}bc\leq \frac{1}{2}\sum \left ( a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2} \right ) $. Ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn là: $\sum \left (a^{6}+b^{6}+4a^{3}b^{3} \right )\geq \sum \left ( a^{4}b^{2}+a^{4}c^{2} \right )-2\sum \left ( a^{5}b+b^{5}a \right ) \Leftrightarrow \sum \left ( a^{3}+b^{3}-a^{2}b-b^{2}a \right )^{2}\geq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$z=\left | z \right |e^{i\varphi } $

thay đổi nội dung bởi: hien123, 10-07-2011 lúc 10:15 AM
hien123 is offline  
Old 10-07-2011, 10:20 AM   #1653
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Cho $a,b,c>0 $ .Cmr:
$9(a^4+b^4+c^4)^2 \ge (a^5+b^5+c^5)(a+b+c)^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
Old 10-07-2011, 10:34 AM   #1654
birain9x
+Thành Viên+
 
birain9x's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 119
Thanks: 28
Thanked 41 Times in 23 Posts
Cách đơn giản nhất là dùng SOS.
Ta có phân tích $9(a^4+b^4+c^4)^2-(a^5+b^5+c^5)^2(a+b+c)^3=9(a^4+b^4+c^4)^2-9(a^5+b^5+c^5)(a^3+b^3+c^3)+(a^5+b^5+c^5)(9(a^3+b^ 3+c^3)-(a+b+c)^3) $
Và ta đựoc các hệ số $S_a=(a^5+b^5+c^5)(4a+4b+c)-9a^3b^3\geq 0 $.Tương tự cho $S_b,S_c $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
birain9x is offline  
Old 10-07-2011, 12:04 PM   #1655
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Cho $a,b,c,d $ dương. Chứng minh rằng:
$4.\sqrt[{16}]{{\dfrac{{32a(a + b)(a + b + c)}}{{3(a + b + c + d)^3 }}}} + \sqrt[4]{{\dfrac{{24bcd}}{{(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)}}}} \le 5 $
Bài này được chế từ ý tưởng bài Polish MO 2005 có nội dung như sau:Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\frac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leqslant 4 $

Đây là bài mình mới chế cũng theo ý tưởng trên
Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$13\sqrt[13]{\frac{3b(a+2c)}{(a+b+c)(2a+b)}}+6\sqrt[6]{\frac{3a}{a+b+c}}\leqslant 19 $

Anh em thử sức nhá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khtoan, 10-07-2011 lúc 02:20 PM
khtoan is offline  
Old 10-07-2011, 03:45 PM   #1656
company
+Thành Viên+
 
company's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 92
Thanked 28 Times in 16 Posts
Cho$ x,y,z,t \geq 0 $
CMR
$ 3(x^2+y^2+z^2+t^2) +4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Never say never!
company is offline  
Old 10-07-2011, 04:50 PM   #1657
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 28
Thanked 361 Times in 123 Posts
Chứng minh BĐT sau bằng 3 cách
(TST VN 2006)
. Cho $x,y,z $ thuộc đoạn $[1;2] $. Chứng minh rằng:
$(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 6\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 10-07-2011 lúc 04:52 PM
DaiToan is offline  
Old 10-07-2011, 04:58 PM   #1658
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 726
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi company View Post
Cho$ x,y,z,t \geq 0 $
CMR
$ 3(x^2+y^2+z^2+t^2) +4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^2 $

Ta chứng minh bất đẳng thức tương đương (Tukervici):
$x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+t^2x^2+t^2y^2+z^2t^2 $
Không mất tính tổng quát, giả sử $t=\min\left \{ x;y;z;t \right \} $
Nếu $t=0 $ thì ta có:
$x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 $
$\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2\ge 0 $
Nếu $t>0 $ ,chuẩn hoá $t=1 $. Ta cần chứng minh:
$x^4+y^4+z^4+2xyz+1\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2 $
Mặt khác, ta có bất đẳng thức với 3 biến dương:
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge 2(xy+yz+zx) $
(Xin không chứng minh)
Ta chuyển về bất đẳng thức tương đương là:
$x^4+y^4+z^4-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2\ge 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $
$\Leftrightarrow (x-y)^2((x+y)^2-2)+(y-z)^2((y+z)^2-2)+(z-x)^2((z+x)^2-2)\ge 0 $
Như vậy bất đẳng thức dc chứng minh. Có 2 trường hợp của đẳng thức :$x=y=z=t $ hoặc $x=y=z;t=0 $.
Ngoài ra, từ cách giải trên, có thể làm mạnh thêm bất đẳng thức đã cho.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline  
The Following User Says Thank You to MathForLife For This Useful Post:
company (10-07-2011)
Old 10-07-2011, 05:04 PM   #1659
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 28
Thanked 361 Times in 123 Posts
Thêm một bài nữa:
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$\[
(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 + 8.\frac{{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 }}{{(a + b + c)^2 }}
\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DaiToan is offline  
Old 10-07-2011, 06:44 PM   #1660
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Chứng minh BĐT sau bằng 3 cách
(TST VN 2006)
. Cho $x,y,z $ thuộc đoạn $[1;2] $. Chứng minh rằng:
$(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 6\left( {\dfrac{x}{{y + z}} +\dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right) $
Mấy dạng này thì SOS cho nó khỏe,đỡ suy nghĩ cao siêu
Do $a,b,c\in [1,2] $ nên a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 $\Delta $
Để ý đẳng thức

$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} $

Ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng :

$P=S_{a}(b-c)^2+S_{b}(a-c)^2+S_{c}(a-b)^2\geqslant 0 $

Trong đó:

$S_{a}=\frac{1}{bc}-\frac{3}{(a+b)(a+c)} $
$S_{b}=\frac{1}{ac}-\frac{3}{(b+a)(b+c)} $
$S_{c}=\frac{1}{ab}-\frac{3}{(c+a)(c+b)} $

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c $
Khi đó dễ thấy $S_{a}\geq 0 $ và $S_{b}\geq 0 $
-Nếu $S_{c}\geq 0 $ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
-Nếu $S_{c}\leq 0 $ thì
$P\geq S_{b}(a-b)^2+S_{c}(a-b)^2=(S_{b}+S_{c})(a-b)^2 $ ( do $(a-c)^2\geq (a-b)^2 $)

Vậy ta chỉ cần chứng minh $S_{b}+S_{c}\geq 0 $
Cái này xin không chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=2,b=c=1 và các hoán vị.

@Anh Huyện sửa dùm bài viết, em quote chẳng được.
Trích:
Mod: Em viết code rất phức tạp và dùng quá nhiều các dấu {} nên rất dễ sai.
Chẳn hạn em viết $S_c $ thì có thể viết đơn giản
HTML Code:
S_c
còn em viết
HTML Code:
S_{c}
Thân.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 11-07-2011 lúc 10:18 AM
khtoan is offline  
Old 10-07-2011, 06:45 PM   #1661
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Thêm một bài nữa:
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$\[
(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 + 8.\frac{{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 }}{{(a + b + c)^2 }}
\]
$
BDT cần cm tương đương :
$\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{(c-a)^2}{ca}+
\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 8.\frac{{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 }}{{(a + b + c)^2 }} $
$\Leftrightarrow \sum{(b-c)^2(a(a+b+c)^2-8abc) \ge0 $

Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b\ge c $
Ta có:$S_b+S_a=(a+b)(a+b+c)^2-16abc \ge 4c(a+b)^2-16abc\ge0 $
$S_b+S_c=(b+c)(a+b+c)^2 -16abc \ge 4a(b+c)^2-16abc \ge0 $
$2S_b \ge S_b+S_c \ge0 \Rightarrow S_b \ge0 $
Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:33 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 87.00 k/99.67 k (12.71%)]