|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-12-2020, 08:23 AM | #1 |
Super Moderator | Đánh giá bất đẳng thức tích phân Cho $v$ là một hàm đủ trơn và triệt tiêu tại $x=1$. Ta có đánh giá sau hay không \[\mathop {\sup }\limits_{0 \leqq x \leqq a} x{v^2}\left( x \right) \lesssim \int_0^a {xv_x^2\left( x \right)dx} .\] __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
22-01-2021, 04:38 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Do $v(a) =0$, nên $v(x) = -\int_x^a v'(t) dt$. Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$v(x)^2 = \Big(\int_x^a -v'(t)\sqrt{t} \frac1{\sqrt{t}} dt\Big) \leq \Big(\int_x^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12} \Big(\int_x^a \frac 1t dt\Big)^{\frac 12} \leq \Big(\ln \frac a x\Big)^{\frac 12}\Big(\int_0^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12}.$$ Do đó $$\sup_{0\leq x\leq a}x v(x)^2 \leq \int_0^a (v'(t))^2 t dt \sup_{0\leq x \leq a} x \ln \frac ax \leq C \int_0^a (v'(t))^2 t dt,$$ do $x \ln a/x$ là hàm bị chặn trên $(0,a]$. |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|