Đề thi và lời giải đề China MO 2012

[huynhcongbang]

Món quà dành tặng diễn đàn mathscope.org nhân dịp đầu năm mới!

Được tổ chức khá gần với kì thi HSGQG của Việt Nam 2012 (trước khoảng vài tuần), kì thi HSGQG của Trung Quốc năm nay, gọi tắt là CMO, vẫn với mô hình cũ, 2 ngày thi, mỗi ngày 3 bài toán giải trong 270 phút, tức là 4.5 tiếng, nhiều hơn cả kì thi TST của VN.
Quan sát đề thi của Trung Quốc vài năm trở lại đây thì có thể thấy rằng cấu trúc đề thi của nước này có đặc điểm là:
- Không có giải tích và có 1 bài hình học khá nhẹ.
- 5 bài còn lại rơi vào đại số, số học và tổ hợp (tỉ lệ 2:2:1 hoặc hoán vị).
Đề thi năm nay cũng vẫn có một bài hình dễ, các kết quả rất dễ thấy. Bài đại số thì cũng khá đẹp, ý tưởng sắp thứ tự là không khó và từ đó có thể rút gọn được biểu thức F, quan trọng là xử lí đoạn còn lại.
Có 2 bài Số học và 2 bài Tổ hợp. Cả 4 bài này quả thật rất khó và chúng có một đặc điểm chung của loại toán rời rạc mà mọi người vẫn sợ là phải "xây dựng".
Bài 2 đòi hỏi phải xây dựng điều kiện để có một cách điền tốt. Xây dựng đúng thì mọi chuyện đã rõ ràng.
Bài 3 thì phải xây dựng các phần tử của dãy số thoả mãn đồng thời cả 3 tính chất. Nó có đặc điểm giống với một bài toán cũ như sau:
"Cho tập hợp $A=(a_1,a_2,a_3,...,a_{11}) $ là các số nguyên dương đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng tồn tại cách chọn các số $b_1,b_2,b_3,...,b_{11} \in \{ -1, 0, 1 \} $ sao cho tổng $a_1b_1+a_2b_2+...+a_{11}b_{11} $ chia hết cho 2011."
Bài 5 thì đòi hỏi phải xây dựng các số $a,b,c $ với số n thoả các điều kiện cho trước.
Bài 6 là bài cực trị rời rạc nên chuyện xây dựng là điều tất yếu.

Mình xin gửi hai file liên quan đến kì thi này là:
- Đề thi CMO 2012 bản tiếng Việt. Trong đó do bài 3 có từ "if and only if" nên mình chia thành 3 điều kiện cho dễ lập luận, bài 5 có đề cập đến số "square-free" nên mình giữ nguyên từ đó (hình như tiếng Việt không có từ tương ứng) và có ghi chú thích ở dưới.
- Lời giải CMO 2012: đều tổng hợp từ mathlinks.ro và mình có giải thích ra ở tất cả những chỗ mà trên đó chưa được giải rõ ràng để có lời giải hoàn chỉnh. Xin cám ơn các tác giả SnowEverywhere, mahanmath, dgrozev, can_hang2007, dinoboy đã có những lời giải quá tuyệt vời.

Nếu có vấn đề gì thắc mắc thì mọi người trao đổi thêm nha!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Em thấy trên mathlinks bài 2 có cách dùng hàm sinh. Không biết cách đó có đúng không ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi nghiepdu-socap

Em thấy trên mathlinks bài 2 có cách dùng hàm sinh. Không biết cách đó có đúng không ạ

Anh nghĩ là đúng và lời giải đó mới có thể ứng dụng, học hỏi được đấy em. Lời giải bằng cách đếm trực tiếp nói chung ý tưởng hơi khó sử dụng được và có lẽ chỉ dùng riêng cho bài đó.
2 lời giải bên forum của Trung Quốc rõ ràng, đầy đủ hơn lời giải theo cách xét đa thức bên mathlink.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Nhưng bên ấy họ viết bằng tiếng trung nên không đọc được anh ạ
Mong anh sẽ tiếp tục tổng hợp lời giải đề chọn đội tuyển IMO của trung quốc luôn ạ. Cảm ơn anh vì tài liệu này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]