|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-01-2018, 12:53 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2018 Bài gởi: 4 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post | Chứng minh $\sum n$ chia hết $\sum n^k$ Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên dương $k$ lẻ, chứng minh rằng \[\left( {\sum\limits_{i = 1}^n i } \right)\mid \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{i^k}} } \right).\] |
24-01-2018, 01:00 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2017 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 3 Times in 3 Posts | Trích:
\[{a^k} + {b^k} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^{k - 1}} - {a^{k - 2}}b + \ldots + {b^{k - 1}}} \right)\;\vdots\; (a+b).\] Lại để ý \[2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{i^k}} } \right) = 2{n^k} + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{i^k} + {{\left( {n - i} \right)}^k}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{i^k} + {{\left( {n + 1 - i} \right)}^k}} \right)} .\] Từ đó $2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{i^k}} } \right)$ là bội của cả $n$ và $n+1$ đồng thời $\gcd (n;\,n+1)=1$, nên $$2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{i^k}} } \right)\;\vdots\;n(n+1).$$ Ta có được điều cần chứng minh do \[\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1 + 2 + \ldots + n.\] | |
The Following User Says Thank You to tuananh212 For This Useful Post: | Le khanhsy (24-01-2018) |
Bookmarks |
|
|