Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

[symaoxinhxan]

Cho (O) và (O') tiếp xuc với nhau tại M. (O) nằm trong (O'). Một điểm N thuộc (O). Qua n vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt (O') tại A và B. Gọi giao điểm của MN và đường tròn (O') là E
Qua E vẽ tiếp tuyến với (O) tại I cắt (O') tại C
CHứng minh rằng : I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Gọi $G$ là giao của $BM$ với $(O)$. Dễ thấy $NG \parallel EB$ (sử dụng tiếp tuyến chung của $(O)$ và $O'$ tại $M$). Vì thế $\angle EBN = \angle BNG = \angle EMB = \angle EAB$. Điều này dẫn đến $EB=EA$ cũng như $EC$ là phân giác $\angle ACB$.
Ngoài ra cũng vì $\angle EBN = \angle EMB$ nên $EB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $(NBM)$ hay $EB^{2} = EN.EM = EI^{2}$.
Tức là $EA=EI=EB$.
$\angle EIB = \angle ECB + \angle IBC = \angle EBI = \angle ABI + \angle EBA = \angle ABI + \angle ECB$ , điều này có nghĩa là $BI$ là phân giác $\angle ABC$.
$I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]