Cực trị hàm ẩn (nhiều biến)

[tr.phuoctoan]

Nguồn : Tài liệu Toán A3 của giảng viên trường mình.
Tìm cực trị của hàm ẩn $z $ cho bởi :
a. $x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z-7=0 $
b. $2x^2+2y^2+z^2+8xyz-z+8=0 $
Câu a.
Mình đạo hàm theo biến x và y; và giải hệ như sau :$2x+2.z.z'_x+4-4z'_x=0 $ và $2y+2.z.z'_y+2-4z'_y=0 $ (Với $z'_x=0 $ và $z'_y=0 $
Dễ dàng tìm được $(x;y)=(-2;1) $
Ta thế vào phương trình ban đầu thì xuất hiện tới 2 giá trị của $z $ là $z=6 $ và $z=-2 $
Mình có hỏi thầy là sao để loại trừ trường hợp thì thầy chỉ bảo dựa vào điều kiện tồn tại của $z'_x $ và $z'_y $.
Mình mong được giúp đỡ; làm sao để loại được giá trị của $z $ (không lẽ tại 1 điểm cho 2 giá trị thì sao gọi là hàm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Carles Puyol]

Mình không có thời gian để có thể tìm hiểu lời giải, nhưng mình có thể bình luận và phân tích 1 chút xíu để bạn tìm hiểu thêm.

Nguyên văn bởi tr.phuoctoan

(không lẽ tại 1 điểm cho 2 giá trị thì sao gọi là hàm).

Hàm ẩn chỉ xác định về mặt địa phương, chứ không phải toàn cục. Có nghĩa là trong một lân cận của điểm $(x,y)$ thì $z$ là hàm của $(x,y)$, còn trên toàn bộ miền xác định của $(x,y)$ thì $z$ CHƯA CHẮC là hàm của $(x,y)$.

Làm thế nào để xác định được giá trị phù hợp của $z$? Ở đây bạn chưa tận dụng triệt để phương trình

$2x+2.z.z'_x+4-4z'_x=0 $ và $2y+2.z.z'_y+2-4z'_y=0 $ (Với $z'_x=0 $ và $z'_y=0 $

khi $x,y$ "di chuyển" trong một lân cận nhỏ. Bạn thử xem thế nào? Xin lỗi là mình không có thời gian để đọc lại phần kiến thức hàm ẩn. Hy vọng có bạn khác có câu trả lời tốt hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lythuyen]

Nguyên văn bởi tr.phuoctoan

Nguồn : Tài liệu Toán A3 của giảng viên trường mình.
Tìm cực trị của hàm ẩn $z $ cho bởi :
a. $x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z-7=0 $
b. $2x^2+2y^2+z^2+8xyz-z+8=0 $
Câu a.
Mình đạo hàm theo biến x và y; và giải hệ như sau :$2x+2.z.z'_x+4-4z'_x=0 $ và $2y+2.z.z'_y+2-4z'_y=0 $ (Với $z'_x=0 $ và $z'_y=0 $
Dễ dàng tìm được $(x;y)=(-2;1) $
Ta thế vào phương trình ban đầu thì xuất hiện tới 2 giá trị của $z $ là $z=6 $ và $z=-2 $
Mình có hỏi thầy là sao để loại trừ trường hợp thì thầy chỉ bảo dựa vào điều kiện tồn tại của $z'_x $ và $z'_y $.
Mình mong được giúp đỡ; làm sao để loại được giá trị của $z $ (không lẽ tại 1 điểm cho 2 giá trị thì sao gọi là hàm).

tại 1 điểm cho 2 giá trị vì nó là hàm đa trị, giống như phương trình mặt cầu vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]