Bài toán về tính hội tụ dãy hàm

[Hỏivớvẩn]

Em có bài dãy hàm này nhưng em độc không hiêu lắm mọi người giúp em với
xét tính hội tụ của dãy hàm sau. $f_n(x)=x^n-x^{2n}, \, x \in [0,1] $ bài giải như sau. Với mọi x thuộc [0,1] ta có $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0=f(x) $ khảo sát hàm số$f_n(x)=x^n-x^{2n} $ trên [0,1] ta có $\sup_{[0,1]}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})={\frac{1} {4} $ và $\sup_n|f_n(x)-f(x)|={\frac{1}{4} $ không tiến đến 0
nên dãy hàm không hội tụ đều.mấy anh xem giải thích chỗ này em với. khảo sát hàm số$f_n(x)=x^n-x^{2n} $ trên [0,1] ta có $\sup_{[0,1]}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})={\frac{1} {4} $. Sao có thể tính được :$\sup_{[0,1]}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})={\frac{1} {4} $
em cám ơn mọi ngừơi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi Hỏivớvẩn

Sao có thể tính được :$\sup_{[0,1]}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})={\frac{1} {4} $
em cám ơn mọi ngừơi

Trước tiên, xem n như hằng theo x, ta có $f_n(x) \le \dfrac{1}{4} $

Lấy $\varepsilon >0 $ bé tùy ý, ta sẽ chứng minh rằng có số $x_{\varepsilon} \in \left[0, \, 1] $ để $f_n(x_{\varepsilon}) > \dfrac{1}{4} - \varepsilon $, điều này tương đương với

$\dfrac{1}{4} - x^n + x^{2n} < \varepsilon $ hay $\left| x^n - \dfrac{1}{2}\right| < \sqrt{\varepsilon} $

Nếu $\varepsilon \ge 1/4 $ thì dễ dàng chọn được x; còn nếu $\varepsilon < 1/4 $ thì chọn $\left(\dfrac{1}{2}-\sqrt{\varepsilon}\right)^{1/n} < x < \left(\dfrac{1}{2} + \sqrt{\varepsilon}\right)^{1/n} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cám ơn Sang đã trả lời giúp bạn ý, tuy nhiên 99 có nhắc nhở với bạn tác giả chủ đề thế này :
- bạn nên đặt câu hỏi cho rõ, cố gắng viết câu hỏi ngắn gọc, súc tích.
- bài viết của bạn có lỗi font chữ, bạn kiểm tra xem lại mã gõ tiếng Việt, tôi đoán là : 1- bạn dùng di động 2 - bạn dùng mã Vietnamese locale CP 1258.
Nếu là do mã, thì bạn chọn lại mã Unicode đựng sẵn để hiển thị tiếng Việt chính xác hơn. Chứ xấu quá là BQT có thể xóa bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoa anh đào]

Theo em thì ta có thể khão sát hàm số là $g(x)=x^n-x^{2n} $ ta có $g'(x)= nx^{n-1}-2n-x^{2n-1}=0=x^{n-1}(1-2x^n) $vậy ta sẽ có 2 nghiệm là $x=1 $ và $x=\sqrt[n]{\dfrac{1}{2}} $ lập bảng biến thiên cho $g(x) $ ta tìm ra cực đại tương đương với sup tại $x=\sqrt[n]{\dfrac{1}{2}} =x= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}={\dfrac{1}{4}} $ vậy yêu cầu bạn được giải quyết
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi hoa anh đào

Theo em thì ta có thể khão sát hàm số là $g(x)=x^n-x^{2n} $ ta có $g'(x)= nx^{n-1}-2n-x^{2n-1}=0=x^{n-1}(1-2x^n) $vậy ta sẽ có 2 nghiệm là $x=1 $ và $x=\sqrt[n]{\dfrac{1}{2}} $ lập bảng biến thiên cho $g(x) $ ta tìm ra cực đại tương đương với sup tại $x=\sqrt[n]{\dfrac{1}{2}} =x= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}={\dfrac{1}{4}} $ vậy yêu cầu bạn được giải quyết

Ý bạn là sử dụng định lý này: Nếu $f(x) $ đạt giá trị cực đại toàn cục (absolute max) là $\alpha $ thì $\alpha $ cũng chính là supremum của $f(x) $ trên $\mathbb{D}_f. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoa anh đào]

Đúng đó anh vậy thế có thể được không anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]