Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Nội năm học 2012 - 2013

[Trầm]

$\fbox{Đề chính thức}$

Bài I: (2,5 điểm)
1) Cho biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$. Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=36$.
2) Rút gọn biểu thức
$B = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\dfrac{4}{\sqrt {x}-4}\right):\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+2}$ (với $x\ge 0, x \neq 16$)
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của $x$ để giá trị của biểu thức $B(A-1)$ là số nguyên.

Bài II: (2,0 điểm)
Hai người cùng làm chung một công việc trong $\dfrac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Bài III: (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2\\\dfrac{ 6}{x}-\dfrac{2}{y}=1\end{cases}$
2) Cho phương trình: $x^2-(4m-1)x+3m^2-2m=0$ (ẩn $x$). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện ${x_1}^2+{x_2}^2=7$.

Bài IV: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh $\widehat{ACM}=\widehat{ACK}$.
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và $\dfrac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh rằng đường thẳng PB đi qua trung điểm đoạn thẳng HK.

Bài V: (0,5 điểm)
Với $x, y$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $x \ge 2y$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$

Hết

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.

Mấy bé Hà Nội dở quá, phải để thằng anh nó ở Sài Gòn post đề

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Katyusha]

Bài 5:
$$M = \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x} +\dfrac{3x}{4y} \ge 2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{4}=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{ 5}{2}$$
Vậy $minM=\dfrac{5}{2}$ tại $x=2y$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[12345678910111]

Nếu bài 5 mình G/s $M \ge 2,5 $ rồi chuyển các hạng tử sang 1 vế. c/m bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng dựa và điều kiện $x \ge 2y $ dc k? nhưng nó hơi lạ. không bít có dc điểm k? Đề này tương đối dễ chỉ có câu cuối hơi khó thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lambada]

Nguyên văn bởi 12345678910111

Nếu bài 5 mình G/s $M \ge 2,5 $ rồi chuyển các hạng tử sang 1 vế. c/m bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng dựa và điều kiện $x \ge 2y $ dc k? nhưng nó hơi lạ. không bít có dc điểm k? Đề này tương đối dễ chỉ có câu cuối hơi khó thôi

bạn trình bày ra thử xem nào , theo mình nghĩ là được đó
thật ra câu cuối cũng không khó lắm chỉ là cauchy điểm rơi mà thôi
Mình xin làm bài hình:
Câu a,b chắc dễ rồi mình làm câu c và d
c)$\triangle ACB $ vuông cân tại C $\Rightarrow CA=CB$ và $\widehat{CAB}=\widehat{CBA}=45^o$
Có $AM=BE$ $;AC=BC $ $;\widehat{MAC}=\widehat{CBE}$
Suy ra $\triangle MAC = \triangle EBC \Rightarrow CM=CE$ mà $\widehat{CME}=\widehat{CAB}=45^o \Rightarrow Q.E.D$
d)Kết hợp gt và $\widehat{PAO}=\widehat{AMB}=90^o$
Suy ra: $\triangle APO \sim \triangle MAB \Rightarrow OP//MB$
Tia $BM$ cắt $d$ tại $T$ , $O$ trung điểm $AB$ , $OP//MB$ hay $OP//BT$
Suy ra $P$ trung điểm $AT$ , đến đây thì dễ dàng rồi

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[12345678910111]

Quên mất nếu bài II đặt thời gian người thứ nhất & thứ hai 1 mình hoàn thành công việc là x,y. Điều hiện x>0, y>2 có đúng K? hay phải là x>12/5
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lang_nghe97]

Bài hình câu cuối.em chứng minh dk 2 tam giác đồng dạng.dk cái tam giác cân rùi hết giờ.ko bít dk điểm ko nhỉ?
bài 5 thì dễ quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hellsangel_97]

Heyyyyy em thi làm xong hết nhưng đến lúc cuối giờ kiểm tra lạii thì hóa ra bị nhầm mất kết quả của bài rút gọn phần b. Hey, lần này ko biết được mấy nữa

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ladykillah96]

Nguyên văn bởi tanggo

Bài IV: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh $\widehat{ACM}=\widehat{ACK}$.
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và $\dfrac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh rằng đường thẳng PB đi qua trung điểm đoạn thẳng HK.

Nguyên văn bởi lambada

d)Kết hợp gt và $\widehat{PAO}=\widehat{AMB}=90^o$
Suy ra: $\triangle APO \sim \triangle MAB \Rightarrow OP//MB$
Tia $BM$ cắt $d$ tại $T$ , $O$ trung điểm $AB$ , $OP//MB$ hay $OP//BT$
Suy ra $P$ trung điểm $AT$ , đến đây thì dễ dàng rồi

Đứa em mình câu d nó làm cách này cũng hay lắm!
Gọi $I$ là trung điểm của $HK$, $BI$ cắt $d$ tại $P'$. Ta có:
$IK \parallel AP'$ nên $\dfrac{IK}{AP'} = \dfrac{BK}{BA}$, suy ra $AP' = \dfrac{IK.2R}{BK} = \dfrac{HK.R}{BK}$.
$\Delta BHK$ ~ $\Delta BAM$ nên $\dfrac{HK}{MA} = \dfrac{BK}{MB}$, hay $\dfrac{HK}{BK} = \dfrac{MA}{MB}$
Từ đó suy ra $AP' = \dfrac{MA.R}{MB} = AP$, do đó $P' \equiv P$.
Vậy $PB$ đi qua trung điểm $I$ của $HK$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dung_toan78]

Chưa thấy bạn nào post đề thi chuyên Toán Hà Nội nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NHDHamNghi007]

Câu cuối nên dùng kiến thức Pt bậc hai
phù hợp với học sinh lớp 9 hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[12345678910111]

Ok cách câu d bài hình giống em quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ng_Anh_Hoang]

Nguyên văn bởi 12345678910111

Bài cực trị mình làm như sau: mong các bạn góp ý xem có đúng k?
G/s M>=5/2. nên 2(x bình + y bình) - 5xy>=0. => (x - 2y) bình + (x + y)(x - 2y) >=0.
do x>=2y và x>0, y>0 nên (x+y)(x - 2y)>=0. mà (x - 2y ) bình >=0 nên bất đẳng thức cuối luôn đúng. nên min M = 5/2 khi x=2y và x,y>0

Câu 5 mình nghĩ nên dùng dấu tương đương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]