Đề tuyển sinh Chuyên Toán PTNK 2013 - 2014

[vô tình]

Câu I:
Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.
Câu II:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$
Câu III:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.
a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.
b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Câu IV:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Câu V:
Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.
Câu IV:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[linh1997]

Câu 3
b, ta có : $x^3-y^3 \le x-y$. suy ra $x^2+y^2 + xy \le 1$ suy ra dpcm (do xy >=0).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Nguyên văn bởi vô tình

Câu IV:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.

Lời giải. a) Câu này tương đương với chứng minh $M$ lẻ, không khó lắm.
b) Xét trường hợp $a=5k+r$ với $k,r \in \mathbb{N}, \; 0 \le r \le 4$ để tìm $a$ thỏa mãn $5|M$.
Ở ý còn lại thì ta đặt $M= 5^m$ với $m \in \mathbb{N}$. Khi đó $$4M= (2a+3)^2-5=4 \cdot 5^m \Rightarrow (2a+3)^2 = 5 \cdot \left( 4 \cdot 5^{m-1}+1 \right)$$
Ta thấy $5|(2a+3)^2 \Rightarrow 25|(2a+3)^2$. Do đó $5| 4 \cdot 5^{m-1}+1$. Ta suy ra $m=1$.
Khi đó ta có $a=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[linh1997]

Câu 6 ( Tổ hợp )
Giả sử 3 bài toán cần giải là a, b , c và số người giải được mỗi bài thứ tự là A, B, C;
Không mất tính tổng quát giả sử $A \ge B \ge C$
a, Theo giả thiết C = 0, ta xét 2 khả năng :
1, Tất cả học sinh đều giải được cả 2 bài a và b, khi đó A = B = 60 suy ra đpcm
2, Tồn tại 1 học sinh x chỉ giải được 1 bài . Giả sử bài đó là a, do mỗi sinh bất kì trong các học sinh còn lại luôn có ít nhất 1 bài mà học sinh đó và x cùng giải được. Do đó tất cả học sinh đều giải được bài a suy ra đpcm
b, Tương tự như ta a, ta cũng chia ra 2 khả năng :
1, Cả 60 học sinh đều giải được ít nhất 2 bài. Khi đó $A + B + C \ge 120 $ suy ra $A \ge 40 $ (đpcm)
2, Tồn tại 1 học sinh chỉ giải được 1 bài khi đó theo câu a, tồn tại 1 bài mà cả 60 người đều giải được suy ra đpcm .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi vô tình

Câu II:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$

Câu 2: Cộng 3 đẳng thức lại ta có:
$3(x^2+y^2+z^2)+3=2(xy+yz+xz)+2(x+y+z)$
Theo AM-GM:
$3(x^2+y^2+z^2)+3\ge (x+y+z)^2+3$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2+3\ge 2(x+y+z)$ (AM-GM)
$\Rightarrow (x+y+z)^2+3 \ge 2(xy+yz+xz)+2(x+y+z)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Nguyên văn bởi vô tình

Câu V: Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.

a) Do $MN\parallel BC \Rightarrow KD \perp MN$
Ta có:$\widehat{MKI}+\widehat{MFI}=180^{\circ}$ nên tứ giác $MKIF$ nội tiếp.
$\widehat{NKI}=\widehat{IEN}=90^{\circ}$ nên tứ giác $IKEN$ nội tiếp
Từ đó suy ra $\widehat{MIK}=\widehat{KIN}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{MAN}+\widehat{MIN}=180^{\circ}$ nên tứ giác $AMIN$ nội tiếp
b) Kẻ $Ax$ song song $CB$ , $KD$ cắt $Ax$ tại $L$
$\Rightarrow KL \perp Ax$;
$EF$ cắt $Ax$ tại $R$; $AK$ cắt $BC$ tại $J'$
Dễ dàng chứng minh $A;L;E,F,I$ cùng thuộc một đường tròn.
Từ đó suy ra $LK$ là phân giác $\widehat{MLN}$, lại có $Lx \perp LK$ nên từ đó ta suy ra $A(RKEF)=-1$
Mà $AF$ cắt $BC$ tại $B$;$AE$ cắt $BC$ tại $C$;$AK$ cắt $BC$ tại $J'$ và $LR \parallel BC$ nên theo tính chất hàng điểm ta suy ra $J'$ là trung điểm $BC$
Vậy $J\equiv J'$ nên $A;K;J$ thẳng hàng
c)Tính được $EF=r\sqrt{3}$ và $AI=2r$ nên $S_{AFIE}=r^2\sqrt{3}$
Ta có: $S_{IEF}=\dfrac{S}{4}$
Ta có: $IM \ge IF$; $IN\ge IE$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}IM.IN.\sin 120^{\circ} \ge \dfrac{1}{2}IE.IF.\sin 120^{\circ}$
$\Rightarrow S_{IMN}\ge S_{IEF}=\dfrac{S}{4}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Cho mình hỏi đề này bao nhiêu điểm là đậu nhỉ ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Nguyên văn bởi pco

Cho mình hỏi đề này bao nhiêu điểm là đậu nhỉ ??

Bật mí cho bạn 1 tí nhé:điểm chuyên cao nhất lớp toán năm ngoái chỉ có 7,8 thôi
Như vậy làm được 8 điểm là chắc đậu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi TNP

Bật mí cho bạn 1 tí nhé:điểm chuyên cao nhất lớp toán năm ngoái chỉ có 7,8 thôi
Như vậy làm được 8 điểm là chắc đậu

Hoàng làm được 7,8 nè chứ ai!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

đề này nhìn kỹ thì cũng không khó mấy mn nhỉ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Nguyên văn bởi mathandyou

Hoàng làm được 7,8 nè chứ ai!!!!

Không, bạn làm cao nhất là Đặng Huy Hoàng(Phú Yên) và Nguyễn Vĩnh Khang(TDN) cơ
Còn mình thì rất buồn là điểm chuyên thấp nhất lớp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi TNP

Không, bạn làm cao nhất là Đặng Huy Hoàng(Phú Yên) và Nguyễn Vĩnh Khang(TDN) cơ
Còn mình thì rất buồn là điểm chuyên thấp nhất lớp

Mình cứ tưởng bạn là cái bạn ở Phú Yên ấy chứ.Giọng thì tếu mà học kinh gớm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DuyLTV]

Nhìn chung thì đề năm nay có vẻ dễ hơn các năm trước, mỗi bài cần một ít mẹo là ra. Mong là các bé Đồng Nai năm nay lên TP có quà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Em thấy đề PTNK dễ hơn đề KHTN và SPHN nhiều.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DuyLTV]

Ơ, sao nghe nói PTNK là của KHTN???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi DuyLTV

Ơ, sao nghe nói PTNK là của KHTN???

KHTN Hà Nội anh Duy ơi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]