Một bài toán về vector

[hoaxinh]

Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH, BI, CK. Chứng minh rằng:
a) Nếu $\vec {AH} + \vec {BI} + \vec {CK} = \vec {0} $ thì tam giác ABC là tam giác đều
b) Thay "đường cao" bằng "phân giác trong".
Mọi người giải giúp em bài này. Em chưa học đến phần tích vô hướng nên có cách nào giải mà không dùng tích vô hướng không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

A. Biến đổi biểu thức đã cho:
$\overrightarrow{AH}+ \overrightarrow{BI}+ \overrightarrow{CK}= \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BH}+ \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{AK}= \overrightarrow{0} $
Ta cũng có:
$\overrightarrow{AK}=\frac{AK}{AB}.\overrightarrow{ AB}=\frac{b.cosA}{c}.\overrightarrow{AB}=\frac{b^2 +c^2-a^2}{2c^2} \overrightarrow{AB} $.
Tương tự với hai vecto kia, ta được:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{2c^2}\overrightarrow{AB}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a^2}\overrightarrow{BC}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b^2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow \frac{b^2-a^2}{c^2}\overrightarrow{AB}+\frac{c^2-b^2}{a^2}\overrightarrow{BC}+\frac{a^2-c^2}{b^2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow (\frac{b^2-a^2}{c^2}-\frac{c^2-b^2}{a^2}).\overrightarrow{AB}+(\frac{a^2-c^2}{b^2}-\frac{c^2-b^2}{a^2}). \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0} $
Hai vecto này không cùng phương nên buộc hai hệ số phải bằng 0, tức là:
$\frac{b^2-a^2}{c^2}=\frac{c^2-b^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{b^2} $.
Từ đây dễ dàng suy ra $a= b=c $.
b.Đối với đường phân giác cũng tiến hành biến đổi tương tự, chỉ cần thay độ dài các đoạn thẳng cho phù hợp.

Chắc bài này còn cách đơn giản hơn! Hic! Cách này dài dòng quá!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoaxinh]

Thầy giáo ở lớp em mới chỉ giải câu A bằng cách dùng định lý con nhím. CÒn câu B thì em chịu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Coloveka]

Câu b sử dụng tính chất :
1/Nếu A,I,B thẳng hàng (theo thứ tự đó) và IA=kIB thì với mọi điểm O trong mặt phẳng ta luôn có $(k+1)\vec{OI}=k\vec{OB}+\vec{OA} $
Áp dụng cho chân các đường phân giác.
2/$\vec{b},\vec{c} $ ko đồng phẳng.
Nếu$ \alpha \vec{b}+\beta \vec{c}=\vec{0} $ thì
$\alpha=\beta=0 $
Làm tương tự câu 1 giải ở trên .
Chúc may mắn !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]