Hệ thức vector của tứ diện vuông

[luatdhv]

Cho tứ diện vuông $OABC $ có $I $ là trung điểm đường cao $OH $. Chứng minh:

$S_O^2\vec{IO}+S_A^2\vec{IA}+S_B^2\vec{IB}+S_C^2 \vec{IC} =\vec{0} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Các kí hiệu $S_O,S_A,S_B,S_C $ có nghĩa là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luatdhv]

Nguyên văn bởi novae

Các kí hiệu $S_O,S_A,S_B,S_C $ có nghĩa là gì?

Diện tích các mặt tam giác đối diện đỉnh tương ứng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[InuYasha]

Nguyên văn bởi luatdhv

Cho tứ diện vuông $OABC $ có $I $ là trung điểm đường cao $OH $. Chứng minh:

$S_O^2\vec{IO}+S_A^2\vec{IA}+S_B^2\vec{IB}+S_C^2 \vec{IC} =\vec{0} $

Gọi AA', BB', CC' là các đường cao tương ứng của tam giác ABC.
Trước hết ta cm: $\frac{S^2_A}{\tan A} = \frac{S^2_B}{\tan B}= \frac{S^2_C}{\tan C} $ (1) với A, B, C là các góc của tam giác ABC
Thật vậy:
Ta có: $\frac{S^2_A}{S^2_B}= \frac{OB^2.OC^2}{OA^2.OC^2} = \frac{OB^2}{OA^2} = \frac{BB'.BH}{AA'.AH} = \frac{BB'.A'B}{AA'.AB'}= \frac{\tan A}{\tan B} $
Do đó (1) được cm.
Ta có:
$S_O^2\vec{IO}+S_A^2\vec{IA}+S_B^2\vec{IB}+S_C^2 \vec{IC} = (S^2_A + S^2_B +S^2_C)\vec{HI} + S_A^2\vec{IA}+S_B^2\vec{IB}+S_C^2 \vec{IC} = S^2_A\vec{HA} + S^2_B\vec{HB}+ S^2_C\vec{HC} $
Từ (1) và kết quả quen thuộc $\tan A . \vec{HA} + \tan B. \vec{HB} + \tan C. \vec{HC} = \vec{0} $ ta suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]