Đề thi chọn học sinh giỏi Phú Yên 2009

VIF · 03-12-2009, 08:16 PM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
****

Câu 1. (5 điểm) Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}} $ có đồ thị (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C), từ đó suy ra đồ thị $\left( {{C_1}} \right) $ của hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{\left| x \right| - 1}} $.
b) Dựa vào đô thị$({C_1}) $, biện luận theo tham số $m $ số nghiệm $x $ thuộc đoạn $\left[ { - 1;2} \right] $ của phương trình: $\left( {m - 2} \right)\left| x \right| - m = 0 $

Câu 2. (5 điểm)
a) Giải phương trình: $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} - 2 = 0 $
b) Tìm x,y,z biết
$\left\{ {\begin{array}
{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3} \\
{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = {{\left( {1 + \sqrt[3]{{xyz}}} \right)}^3}} \\
\end{array}} \right. $

Câu 3. (5 điểm) Cho hình vuông $ABCD $. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm E,F sao cho $\frac{{BE}}{{BC}} = k $ và$\frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{1 - k}}{{1 + k}} $, với$0 < k < 1 $. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF tại H và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh rằng

$\frac{{PG}}{{PH}} = \frac{{DG}}{{BH}} $

Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định và d là đường thẳng quay quanh O. Lấy S ngoài (P) có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với $H \ne O $. Qua S dựng đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi.

Câu 5. (2 điểm) Cho đa thức : $f\left( x \right) = {x^4} - 2011{x^3} + \left( {2010 + a} \right){x^2} - 2009 + a $, với a là số nguyên. Chứng minh rằng đa thức không thể có hai nghiệm nguyên (phân biệt hay trùng nhau).

-HẾT-

03-12-2009, 08:16 PM	#1
VIF +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2009 Bài gởi: 28 Thanks: 2 Thanked 55 Times in 12 Posts	Đề thi chọn học sinh giỏi Phú Yên 2009 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ** Câu 1. (5 điểm) Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}} $ có đồ thị (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C), từ đó suy ra đồ thị $\left( {{C_1}} \right) $ của hàm số $y = \frac{{\left\| x \right\|}}{{\left\| x \right\| - 1}} $. b) Dựa vào đô thị$({C_1}) $, biện luận theo tham số $m $ số nghiệm $x $ thuộc đoạn $\left[ { - 1;2} \right] $ của phương trình: $\left( {m - 2} \right)\left\| x \right\| - m = 0 $ Câu 2. (5 điểm) a) Giải phương trình: $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} - 2 = 0 $ b) Tìm x,y,z biết $\left\{ {\begin{array} {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3} \\ {\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = {{\left( {1 + \sqrt[3]{{xyz}}} \right)}^3}} \\ \end{array}} \right. $ Câu 3. (5 điểm) Cho hình vuông $ABCD $. Trên các cạnh CB và CD lần lượt lấy các điểm E,F sao cho $\frac{{BE}}{{BC}} = k $ và$\frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{1 - k}}{{1 + k}} $, với$0 < k < 1 $. Đoạn thẳng BD cắt AE và AF tại H và G tương ứng. Đường vuông góc với EF kẻ từ A cắt BD tại P. Chứng minh rằng $\frac{{PG}}{{PH}} = \frac{{DG}}{{BH}} $ Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định và d là đường thẳng quay quanh O. Lấy S ngoài (P) có hình chiếu vuông góc trên (P) là H, với $H \ne O $. Qua S dựng đường vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d. Đường thẳng này cắt (P) tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi d thay đổi. Câu 5.** (2 điểm) Cho đa thức : $f\left( x \right) = {x^4} - 2011{x^3} + \left( {2010 + a} \right){x^2} - 2009 + a $, với a là số nguyên. Chứng minh rằng đa thức không thể có hai nghiệm nguyên (phân biệt hay trùng nhau). -HẾT-